Тема 4 Модель свободных электронов. Теория металлов Друде. Основные положения. Статическая электропроводность.

2.07M

Category:

physics

Модель свободных электронов. Теория металлов Друде. Основные положения. Статическая электропроводность

1. Тема 4 Модель свободных электронов. Теория металлов Друде. Основные положения. Статическая электропроводность.

Теплопроводность. Закон
Видемана-Франца. Эффект Холла, постоянная
Холла. Теплоемкость. Теория металлов
Зоммерфельда.
Уравнение Шредингера для свободных
электронов. Граничное условие Борна-Кармана.
Характеристики фермиевских электронов для
стандартного металла. Недостатки модели
свободных электронов.
1

2.

Модель свободных электронов
Теория металлов Друде
Основные положения:
•1) Газ независимых электронов. В интервалах между столкновениями не
учитывается взаимодействие электронов с другими электронами и
ионами. В отсутствие электромагнитных внешних полей электрон
движется по прямой с постоянной скоростью до очередного
столкновения.
2) Столкновения - мгновенные события, внезапно меняющие скорость электронов.
3) В единицу времени электрон испытывает столкновение с вероятностью W~1/t .
За время dt - W ~ dt/ t.
t- время релаксации, не зависит от пространственного положения электрона и его
скорости.
4) Электрон приходит в состояние теплового равновесия со своим
окружением исключительно благодаря столкновениям.
2

3.

е = 1,60 -10-19 Кл
число электронов на 1 см3
3

4.

Электронные плотности и удельные сопротивления (в мкОм см)
некоторых металлических элементов
Эл-т
Z
n,
1022cм-3
rs, A
rs/a0
Al
3
18.1
1.1
2.07
0.3
2.45
Cu
1
8.47
1.41
2.67
0.2
1.56
Fe
2
17.0
1.12
2.12
0.66
8.9
Ag
1
5.86
1.6
3.02
0.3
1.51
Au
1
5.9
1.59
3.01
0.5
2.04
, 77K
, 273K
4

5.

Статическая электропроводность металлов
Плотность тока j - вектор, параллельный потоку заряда; его величина равна количеству заряда, проходящему за
единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную потоку.
+
5

6.

dv/dt = -eE/m, средняя скорость vср = -eE/m
6

7.

8.

Оценки
v0 (107 см/с)
ℓ
8

9.

В каждый момент времени t средняя скорость электронов v равна р (t)/m, где р —
средний импульс, т. е. полный импульс, приходящийся на один электрон.
Плотность тока
t --- р (t)
Вычислим р (t+dt)
с момента времени t до t + dt – вероятность испытать столкновение dt/t,
вероятность без столкновений - (1 - dt/t).
Если электрон не испытывает столкновений--- сила f (t)
приобретет дополнительный импульс - f (t) dt +0 (dt2).
9

10.

Электроны, не испытавшие столкновений в интервале t и t+dt -- t+dt
(1 — dt/t) * (р (t) + f (t) dt + 0 (dt2)).
Поправка за счет электронов, испытавших столкновение в интервале от
t до t +dt ≈0 (dt2).
Пренебрегаем вкладом в р (t + dt) от тех электронов, которые
испытали столкновение за время между t и t + dt
10

11.

Это уравнение означает-- эффект столкновений отдельных электронов сводится к
введению в уравнение движения для импульса, приходящегося на один электрон,
11
дополнительного слагаемого, описывающего затухание за счет трения.

12.

Эффект Холла И МАГНЕТОСОПРОТИВЛЕНИЕ
12

13.

величина (магнитосопротивление) не зависит от поля
Коэффициент
Холла
измерения поля Холла позволяют определить знак носителей заряда
13

14.

имеется электрическое поле с произвольными компонентами Ех и Еy, а также магнитное поле Н,
направленное вдоль оси z. На каждый электрон действует (не зависящая от пространст-венных
координат)
X
14

15.

Поле Холла
15

16.

в действительности эти коэффициенты обычно зависят от магнитного поля,
от температуры и от того, насколько тщательно приготовлен образец.
Зависимость величины
от
для алюминия.
Значение плотности n в модели свободных электронов найдено по номинальной химической валентности, равной в
данном случае трем. Значение nо/n в сильных полях показывает, что на элементарную ячейку приходится лишь один
носитель, причем положительно заряженный.
16

17.

безразмерная величина
wCt
Когда величина w t мала ток j почти параллелен Е, как это было бы в отсутствие магнитного поля.
В общем случае ток j направлен к Е под углом j (называемым углом Холла). Из уравнений следует,
C
что tg j = wCt .
Величина w , называемая циклотронной частотой, представляет собой круговую частоту
C
вращения свободного электрона в магнитном поле Н.
Произведение w t мало, если электроны между столкновениями могут проделать лишь малую
C
часть оборота, и велико, если они могут совершить много оборотов.
когда w t << 1, магнитное поле лишь слегка деформирует орбиты электронов, а когда величина
C
wCt сравнима с единицей и больше, то влияние магнитного поля на орбиты электронов становится
преобладающим.
17

18.

Закон Видемана-Франца (1853). Теплопроводность
металлов.
Экспериментальные значения коэффициента теплопроводности и
числа Лоренца
отношение /s теплопроводности к
электропроводности для большинства металлов прямо
пропорционально температуре, причем коэффициент
пропорциональности с достаточной точностью
одинаков для всех металлов.
18

19.

Эл-т
, Вт/смК,
273К
/ Т, 10-8
ВтОм/К2
273К
, Вт/смК,
373К
/ Т, 10-8
ВтОм/К2
373К
Al
2.38
2.14
2.30
2.19
Cu
3.85
2.20
3.82
2.29
Fe
0.80
2.61
0.73
2.88
Ag
4.18
2.31
4.17
2.38
Au
3.1
2.32
3.1
2.36
19

20.

+
x
В соответствии с законом Фурье поток тепла пропорционален (и
противоположно направлен) градиенту температуры
коэффициент теплопроводности
ε(Т) — тепловая энергия в расчете на один электрон в металле, который
находится в равновесии при температуре Т
ε(Т [х']) - тепловая энергия электрона, последнее столкновение которого
произошло в точке х’ (в среднем )
ε(Т [х — t])- тепловая энергия электрона, приходящего в точку х с той
стороны, где температура выше
(n/2)
ε(Т [х — t])-
вклад в плотность теплового потока
20