Элементы аналитической геометрии

1. Элементы аналитической геометрии

Линии на плоскости
Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола
Линии и поверхности в пространстве
Цилиндрические поверхности. Поверхности
вращения.

2. Линии на плоскости

Уравнением линии на плоскости ОХУ называется
такое уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют
координаты х и у в каждой точке линии и не
удовлетворяют координаты любой точки, не
лежащей на этой линии
Всякое уравнение первой степени относительно х
и у вида Ax+By+C=0, где A, B, C – постоянные
коэффициенты, причем A2 B 2 0 определяет на
плоскости некоторую прямую

3. Линии на плоскости

Рассмотрим прямую l и точку M 0 ( x0 , y0 ) l .
Рассмотрим произвольную точку M(x, y).
Точка M l тогда и только тогда, когда
M 0 M m ( M 0 M , m) 0
m( A, B)
M ( x, y )
l
m( A, B); M 0 M ( x x0 , y y0 )
M 0 ( x0 , y0 )
( M 0 M , m) A( x x0 ) B( y y0 ) 0
Ax By ( Ax0 By 0 ) 0
Ax By С 0 -общее уравнение прямой на
плоскости

4. Линии на плоскости

Кривой второго порядка называется линия,
определяемая уравнением второй степени
относительно текущих координат
Ax 2Bxy Cy 2Dx 2Ey F 0
2
2
Все коэффициенты действительные числа,
причем хотя бы одно из чисел A,B,C отлично от
нуля A2 B 2 С 2 0

5. Линии на плоскости

Окружностью называется множество точек
плоскости, находящихся на одинаковом
расстоянии, называемом радиусом, от
фиксированной точки, называемой центром
окружности
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
( x x0 ) ( y y0 ) R
О( x0 , y0 ) - центр окружности
- радиус окружности
R
2
2
2

6. Линии на плоскости

Эллипсом называется множество точек плоскости,
сумма расстояний от которых до двух данных
точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть
величина постоянная, причем эта постоянная
больше расстояния между фокусами
MF1 MF2 2a

7. Линии на плоскости

Если фокусы эллипса располагаются в точках
F1 ( c,0), F2 (c,0) , то каноническое уравнение
эллипса имеет вид
УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА
2
2
x
y
1
2
2
a
b
Числа a>0, b >0 называются большой и малой
полуосями эллипса, причем a 2 b 2 c 2 .

8. Линии на плоскости

Гиперболой называется множество точек
плоскости, абсолютная величина разности
расстояний от которых до двух данных точек F
1
и F2 , называемых фокусами, есть величина
постоянная, причем эта постоянная меньше
расстояния между фокусами
MF1 MF2 2a

9. Линии на плоскости

Если фокусы гиперболы располагаются в точках
F1 ( c,0), F2 (c,0) , то каноническое уравнение
гиперболы имеет вид
УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ
2
2
x
y
1
2
2
a
b
, где
b c a
2
2
2

10. Линии на плоскости

Параболой называется множество точек
плоскости, равноудаленных от данной точки F,
называемой фокусом, и данной прямой m,
называемой директрисой
MB MF

11. Линии на плоскости

p
p
, 0 ),
Если прямая m: x
,а F(
2
2
то каноническое уравнение параболы имеет вид
УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛЫ
y 2 px
2
, где
p 0

12. Линии и поверхности в пространстве

Уравнением поверхности в прямоугольной системе
координат OXYZ называется такое уравнение
F(x,y,z)=0, которому удовлетворяют координаты
любой точки, принадлежащей поверхности, и не
удовлетворяют координаты любой точки, не
принадлежащей поверхности
Всякое линейное уравнение с тремя переменными
вида Ax+By+Cz+D=0, где A, B, C, D – постоянные
коэффициенты, причем A2 B 2 С 2 0 определяет
в пространстве некоторую плоскость

13. Линии и поверхности в пространстве

Рассмотрим плоскость
.
n( A, B, C)
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
M ( x, y, z )
n( A, B, C ); M 0 M ( x x0 , y y0 , z z0 )
M 0 M m ( M 0 M , m) 0
A( x x0 ) B( y y0 ) С ( z z0 ) 0
Ax By Сz ( Ax0 By 0 Cz0 ) 0
Ax By Сz D 0 -общее уравнение плоскости
в пространстве

14. Линии и поверхности в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана
уравнениями двух плоскостей, пересекающихся
по этой прямой, то есть в виде системы
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0

15. Линии и поверхности в пространстве

a(m, n, p)
M ( x, y )
l
M 0 ( x0 , y0 )
a(m, n, p) // l
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) l
M ( x, y, z ) l
a(m, n, p); M 0 M ( x x0 , y y0 , z z0 )
x x0
y y0 z z 0
M 0 M // a
m
n
p
x x0 y y0 z z0 - каноническое уравнение
m
n
p прямой в пространстве

16. Линии и поверхности в пространстве

Поверхность, образованная движением прямой L,
которая перемещается в пространстве, сохраняя
постоянное направление и пересекая каждый раз
некоторую кривую К, называется цилиндрической
поверхностью или цилиндром.
кривая К – направляющая цилиндра
прямая L – образующая цилиндра

17. Линии и поверхности в пространстве

Уравнение цилиндра, образующие которого
параллельны оси Оz, имеет вид F(x, y)=0
(то есть не содержит координаты z)

18. Линии и поверхности в пространстве

Если направляющая – эллипс в плоскости
Oxy, то имеем поверхность, называемую
эллиптическим цилиндром
2
2
x
y
1
2
2
a
b

19. Линии и поверхности в пространстве

Если направляющая –гипербола в плоскости
Oxy, то имеем поверхность, называемую
гиперболическим цилиндром
Z
2
2
x
y
1
2
2
a
b
Y

20. Линии и поверхности в пространстве

Поверхность, образованная вращением некоторой
плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее
плоскости называется поверхностью вращения

21. Линии и поверхности в пространстве

Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости
Oyz. Уравнение этой кривой имеет вид:
F ( y, z ) 0
x 0
Поверхность, образованная вращением
кривой L вокруг оси Oz, имеет вид:
F ( x y , z) 0
2
2

22. Линии и поверхности в пространстве

Если вращать кривую, заданную уравнением
F ( x, y ) 0
z 0
- вокруг оси Ox, то поверхность задается
уравнением
F ( x, y z ) 0
2
2
- вокруг оси Oy, то поверхность задается
уравнением
F ( y, x z ) 0
2
2

23. Линии и поверхности в пространстве

Oz - ось вращения
x y
z
2 1
2
a
c
2
2
2
x y 2 pz
2
2
- эллипсоид вращения
- параболоид вращения