Аналитическая геометрия в пространстве

1. Аналитическая геометрия в пространстве

2.

«Аналитическая геометрия в пространстве»
курса «Высшая математика» включает
четыре основные темы:
1. Плоскость
2. Прямая в пространстве
3. Взаимное расположение прямой и
плоскости в пространстве
4. Поверхности 2-го порядка

3. 1. Плоскость

Основные уравнения плоскости
1. Уравнение плоскости, проходящей через заданную
точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) перпендикулярно
заданному вектору N A; B; C
N A; B; C
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
2. Общее уравнение плоскости
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
Ax By Cz D 0
N A; B; C
Z
- вектор нормали
c
3. Уравнение плоскости « в отрезках»
x y z
1
a b c
Y
a
X
b

4. Уравнения плоскости

4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
M 2 ( x2 ; y 2 ; z 2 )
M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )
N A; B; C
M 3 ( x3 ; y3 ; z3 )
M 1M x x1; y y1; z z1
M (x ; y ; z )
M 1M 2 x2 x1; y2 y1 ; z2 z1
M1M 3 x3 x1; y3 y1; z3 z1
M (x ; y ; z )
M ( x; y; z )
2
M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )
3
3
3
2
2
3
Условие компланарности векторов
x x1
x2 x1
x3 x1
y y1
y2 y1
y3 y1
2
z z1
z 2 z1 0
z3 z1
( M 1M M 1M 2 M 1M 3 ) 0

5. Построение плоскостей

1. Построить плоскость
3x 4 y 6 z 12 0
Находим координаты точек пересечения плоскости с осями координат.
Z
x
0
0
4
y
0
3
0
z
2
0
0
2
3 Y
4
X
Можно привести уравнение плоскости к уравнению «в отрезках»
1) Переносим вправо свободный член уравнения
3x 4 y 6 z 12
2) Делим на 12, чтобы получить единицу в правой части
3) Выбираем коэффициенты из числителей x y z 1
4
3
2
3x 4 y 6 z
1
12 12 12
Числа, стоящие в знаменателях, являются длинами отрезков, которые
плоскость отсекает на осях координат

6. Построение плоскостей

2. Построить плоскость
3x 5 y 10 0
В уравнении отсутствует переменная z.
Находим точки пересечения плоскости с осями OX и OY.
X
0
10/3
y
-2
0
Соединяем точки прямой линией и получаем
след плоскости на плоскости XOY.
Из точек пересечения проводим
прямые, параллельные оси OZ.
Аналогично строятся все плоскости,
в уравнении которых отсутствует одна
переменная
Z
Z
3
2
Z
Y
-2
10/3
X
X
2
Y
7
2 x 7 z 14 0
X
3 y 2z 6
Y

7. Построение плоскостей

3z 8 0
3. Построить плоскость
В уравнении отсутствуют две переменные x и y. Такая плоскость
проходит параллельно и оси OX , и оси OY, т.е. она проходит
параллельно координатной плоскости XOY через точку z=8/3 на оси OZ.
Z
8/3
Y
Аналогично строятся плоскости,
в уравнениях которых отсутствуют
две переменные
0
X
Z
4x 9 0
5y 3 0
Z
Y
X
9/4
0
X
0
3/5
Y

8.

Таким образом,
1. если в уравнении плоскости отсутствует одна
переменная, то плоскость проходит параллельно той
оси координат, переменной которой нет в уравнении.
2. если в уравнении плоскости отсутствует свободный
член, то плоскость проходит через начало координат.
3. Если в уравнении плоскости отсутствуют две
переменные, то плоскость проходит параллельно
координатной плоскости, переменных которой нет в
уравнении.
Уравнения координатных плоскостей
- уравнение плоскости YOZ
x 0
- уравнение плоскости XOZ
y 0
- уравнение плоскости XOY
z 0

9. Взаимное расположение плоскостей

1. Условие параллельности плоскостей
N 1 || N 2
A1 B1 C1
A2 B2 C2
N1 A1 ; B1 ; C1
N 2 A2 ; B2 ; C2
2. Условие перпендикулярности плоскостей
N1
N2
( N1 N 2 ) 0
A1 A2 B1 B2 C1 C 2 0
N1
N2
3. Косинус угла между плоскостями
Угол между плоскостями – это угол между векторами
нормалей этих плоскостей
cos cos( N1 , N 2 )
A1 A2 B1 B2 C1 C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22

10. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) до плоскости
Ax By Cz D 0 находится по формуле
d
| Ax1 By1 Cz1 D |
M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )
d
A2 B 2 C 2
Расстояние – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость
Правило: для нахождения расстояния от точки до плоскости нужно
координаты точки подставить в левую часть уравнения плоскости,
разделить на длину вектора нормали плоскости и полученное значение
взять по абсолютной величине.
! Расстояние – величина всегда положительная

11. 2. Прямая в пространстве. Основные уравнения

1. Уравнение прямой, проходящей через заданную
точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) параллельно заданному вектору
s m; n; p
x x0 y y0 z z0
m
n
p
- канонические уравнения
s m; n; p - направляющий вектор
2. Параметрические уравнения
x x0 y y0 z z0
t,
m
n
p
s m; n; p
x mt x0
y nt y
0
z pt z0
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные
точки M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ; z2 )
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y2 y1 z2 z1
s M 1M 2
M 2 ( x2 ; y2 ; z2 )
M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )

12. Прямая в пространстве. Основные уравнения

4. Общее уравнение прямой в пространстве
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
а) Направляющий вектор
i
j
k
s N1 N 2 A1 B1 C1
A2 B2 C 2
s m; n; p
N1 A1 ; B1 ; C1
N 2 A2 ; B2 ; C2
A1 x B1 y C1 z0 D1
б) Нахождение точки M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) на прямой
A2 x B2 y C2 z0 D2
x x0 y y0 z z0
m
n
p
- канонические уравнения прямой

13. Взаимное расположение прямых в пространстве

.
1 Нахождение угла между прямыми.
Прямые в пространстве заданы каноническими уравнениями, поэтому
угол между прямыми – это угол между направляющими векторами
( s1 s2 )
m1m2 n1n2 p1 p2
cos
2
2
s1 s2
m1 n12 p12 m2 n22 p22
s2
s1
2. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Условие параллельности прямых
s1 || s2
m1 n1 p1
m2 n2 p2
s2
s1
Условие перпендикулярности прямых
s1
s2
( s1 s2 ) 0
m1m2 n1n2 p1 p2 0
s2
s1

14. 3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

1. Условие параллельности прямой и плоскости
N A; B; C
s m; n; p
s
( N s) 0
N
Am Bn Cp 0
2. Условие перпендикулярности прямой и плоскости
s m; n; p
N A; B; C
N || s
A B C
m n p

15. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

3. Нахождение угла между прямой и плоскостью
s m; n; p
N A; B; C
Углом между прямой и плоскостью
считается угол между этой прямой
и ее ортогональной проекцией на
эту плоскость. На рисунке это угол .
Из уравнений прямой и плоскости
известны направляющий вектор
прямой и вектор нормали плоскости.
Косинус угла
между этими векторами легко можно найти.
Легко заметить, что углы и
в сумме дают 90 градусов, а значит
cos sin
Поэтому при нахождении угла между прямой и плоскостью находят
не косинус, а синус угла. Кроме того, в формуле стоит модуль, так как
синус угла в данной ситуации может быть только положительным
sin
| ( N s) |
N s
| Am Bn Cp |
A2 B 2 C 2 m 2 n 2 p 2

16.

Нахождение точки пересечения прямой и плоскости
Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно
составить систему из уравнений прямой и плоскости
x x0 y y0 z z0
t
m
n
p
Ax By Cz D 0
Для того, чтобы решить систему, переводим уравнение прямой в
параметрический вид
x mt x0
y nt y
0
z pt z0
Подставляем эти уравнения в уравнение плоскости
A(mt x0 ) B(nt y0 ) C ( pt z0 ) D 0
Из этого уравнения находим параметр t и подставляем его значение
в параметрические уравнения , получим координаты точки пересечения

17. 4. Поверхности 2-го порядка

Общее уравнение плоскости или прямой в пространстве – есть
уравнения линейные относительно переменных x , y и z
Уравнение поверхности 2-го порядка
Ax2 By 2 Cz 2 Dx Ey Fz G 0
Ax2 By 2 Cz 2
квадратичная часть
Dx Ey Fz G линейная часть
.
К поверхностям 2-го порядка относятся :
сфера, эллипсоид, гиперболоиды, конусы, параболоиды и цилиндры.
Основная задача состоит в умении по уравнению определить тип
поверхности, привести само уравнение к каноническому виду и
построить поверхность в системе координат.

18. Классификация поверхностей второго порядка

Название поверхности
Каноническое уравнение
Сфера
x2 y 2 z 2 R2
Эллипсоид
x2
y2
z2
2 2 1
2
a2
b 2 c 2
Однополостной гиперболоид
Двуполостной гиперболоид
Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид
Конус
x
y
z
1
2
2
a
b
c2
x2
y2
z2
1
a2
b2
c2
x2 y2
2 pz
a2 b2
x2
y2
2 pz
a2 b2
x2
y2
z2
0
a2
b2
c2
Эллиптический цилиндр
x2
y2
2 1
a2
b
Гиперболический цилиндр
x2 y2
1
a2 b2
Параболический цилиндр
x 2 2 pyили
y 2 2 px

19.

Поверхности второго порядка
ГИПЕРБОЛОИДЫ
ГИПЕРБОЛОИДЫ
ПАРАБОЛОИДЫ
ЭЛЛИПСОИДЫ
СФЕРА
ЦИЛИНДРЫ
КОНУСЫ

20. 1. Сфера

Определение. Сферой называется множество точек пространства,
равноудаленных от одной точки, называемой центром
Уравнение сферы с центром в начале координат
x2 y 2 z 2 R2
Уравнение сферы со смещенным центром
O ' ( x0 ; y0 ; z0 )
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2
!
В уравнение сферы входят квадраты трех переменных,
причем коэффициенты при квадратах и знаки
при них одинаковые.

21. Эллипсоид

Каноническое уравнение трехосного эллипсоида имеет вид
x2 y2 z 2
1
a 2 b2 c2
a, b, c
c
полуоси эллипсоида.
a
Центр этого эллипсоида находится
в начале координат.
Уравнение эллипсоида с центром в точке
O ' ( x0 ; y0 ; z0 ) имеет вид
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2
1
2
2
2
a
b
c
Признаки уравнения эллипсоида:
1. Наличие квадратов всех трех переменных
2. Одинаковые знаки при квадратах переменных
3. Разные коэффициенты при квадратах переменных
b

22. Гиперболоиды

Канонические уравнения гиперболоидов
x2 y2 z 2
2 2 1
2
a
b
c
В зависимости от знака перед единицей в правой
части гиперболоиды делятся на одно и двуполостные.
Каноническое уравнение однополостного
гиперболоида
a
b
x2 y2 z 2
1
a 2 b2 c2
a, b, c полуоси
Признаки уравнения однополостного гиперболоида:
1. Наличие квадратов всех трех переменных
2. Разные знаки при квадратах переменных
3. Один знак минус при квадрате переменной в левой части уравнения,
в правой части плюс 1.

23. Разные ориентации однополостных гиперболоидов

Ориентация гиперболоида зависит от того, перед какой
переменной в каноническом уравнении стоит знак минус.
Однополостный гиперболоид
с осью симметрии OY
2
2
2
x
y z
2 2 1
2
a b c
c
Однополостный гиперболоид
с осью симметрии OX
x2 y2 z 2
2 2 2 1
a b c

24. Гиперболоиды

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида
x2 y2 z 2
2 2 1
2
a
b
c
a, b, c полуоси
Если из уравнения выразить z, то получим
Т.к.
x2 y2
z c
2 1
2
a
b
2
2
x
y
1 1 , то получается, что | z | c
2
2
a
b
c
c
Двуполостный гиперболоид на проходит через начало координат.
Признаки уравнения двуполостного гиперболоида:
1. Наличие квадратов всех трех переменных
2. Разные знаки при квадратах переменных
3. Два знака минус в уравнении: один при квадрате переменной
в левой части уравнения, другой в правой части при 1.

25. Разные ориентации двуполостного гиперболоида

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида содержит
два знака минус в уравнении.
Один знак минус оставляем в левой части уравнения, а второй
поставим перед единицей в правой части. В таком случае легко
определить ось симметрии гиперболоида: перед квадратом
какой переменной в левой части уравнения знак минус, та ось
системы координат и будет являться осью симметрии.
2
2
2
x
y
z
2 2 1
2
a b
c
| y | b
b
b
x2 y2 z 2
2 2 2 1
a
b
c
| x | a

26. Конусы 2-го порядка

Каноническое уравнение конуса
x2 y2 z 2
0
a 2 b2 c2
Каноническое уравнение конуса от уравнений гиперболоидов
отличает то, что в правой части уравнения стоит не единица, а
ноль. Если один знак минус оставляем в левой части уравнения,
то ось симметрии конуса определится также, как и для
гиперболоидов: перед квадратом какой переменной в левой части
уравнения знак минус, та ось системы координат и будет являться
осью симметрии. Для данного уравнения – это ось OZ.
Признаки уравнения конуса:
1. Наличие квадратов всех трех переменных
2. Разные знаки при квадратах переменных
3. Свободный член в правой части уравнения равен нулю.

27. Конусы с разными осями симметрии

Ось симметрии конуса определяется по уравнению
Конус с осью симметрии OY
2
2
2
x
y
z
2 2 0
2
a b
c
Конус с осью симметрии OX
x2 y2 z 2
2 2 2 0
a
b
c

28. Параболоиды

Канонические уравнения параболоидов можно записать
в общем виде
x2 y2
a2
b2
2 pz
Таким образом, в уравнении отсутствует квадрат одной переменной.
В зависимости от знака между квадратами двух других переменных
различают эллиптические и гиперболические параболоиды
Эллиптический
параболоид
x2 y2
2 2 pz
2
a
b
Круговой
параболоид
Если
a b,
то
x 2 y 2 2 pz
Признаки уравнения эллиптического или кругового параболоида:
1. Отсутствие квадрата одной из переменных
2. Одинаковые знаки при квадратах переменных в левой части уравнения

29. Различные ориентации эллиптических параболоидов

Характерным признаком уравнения эллиптического параболоида
является присутствие всех трех переменных, но одно из них
входит в уравнение только в первой степени, т.е. в уравнении
параболоида отсутствует квадрат одной переменной. Ось
симметрии параболоида параллельна той оси, координата
которой в уравнении только в первой степени.
y2 z2
2 2 px параболоид с осью симметрии OX
2
b c
x2 z 2
2 2 py параболоид с осью симметрии OY
2
a c
Возможна также смена направления чаши параболоида.
Если в каноническом уравнении в правой части стоит знак минус,
то параболоид направлен в отрицательном направлении оси симметрии.
Можно записать один из видов параболоидов со смещенной вершиной
x2 y2
2 2 p( z z0 ),
2
a b
'
где O (0;0; z 0 ) - вершина параболоида

30. Гиперболический параболоид

Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид
x2 y2
2 pz
a2 b2
Отличительным признаком уравнения гиперболического параболоида
является то что в левой части уравнения между квадратами
переменных знак минус.
Признаки уравнения гиперболического параболоида:
1. Отсутствие квадрата одной из переменных
2. Разные знаки при квадратах переменных в левой
части уравнения
Эта поверхность имеет форму седла.
Возможны различные варианты ориентации гиперболического параболоида
в зависимости от оси симметрии, знаков при квадратах.

31. Цилиндрические поверхности

Цилиндрическая поверхность-это поверхность, которую
описывает прямая линия (образующая), которая оставаясь
параллельно самой себе движется вдоль некоторой кривой,
называемой направляющей. По названию направляющей
получают свое название и цилиндры.
Если образующая параллельна какой-либо оси координат, то
каноническое уравнение цилиндра не содержит в уравнении
соответствующую переменную. В этом случае уравнение
цилиндра повторяет уравнение своей направляющей.
Вариантов различных уравнений цилиндров достаточно
много.
Для построения цилиндра нужно построить направляющую в
той плоскости, в которой она задана, а затем «тянуть» эту
линию вдоль той оси, координата которой отсутствует в
уравнении.
Признаки уравнения цилиндрической поверхности:
В уравнении цилиндрической поверхности отсутствует
одна переменная.

32. Виды цилиндров

Круговые цилиндры:
Направляющей линией является окружность.
x 2 y 2 R 2 ось симметрии OZ
y 2 z 2 R 2 ось симметрии OX
x 2 z 2 R 2 ось симметрии OY
На рисунке изображен цилиндр с осью симметрии OZ.
R
R
Для построения цилиндра строим окружность радиуса R в плоскости XOY,
а затем «превращаем» эту окружность в цилиндр, вытягивая
вдоль оси симметрии.
Можно построить цилиндр и таким способом: нарисовать две или несколько
одинаковых окружностей параллельных друг другу на разной высоте,
а затем соединить их образующими параллельными оси симметрии.

33.

Эллиптические цилиндры
Направляющей кривой являются эллипсы
x2 y2
1
a 2 b2
ось симметрии OZ
y2 z2
2 1 ось симметрии OX
2
b
c
x2 z 2
2 1 ось симметрии OY
2
a c
a
b
Для построения цилиндра строим эллипс с полуосями a и b в плоскости XOY,
а затем «превращаем» этот эллипс в цилиндр, вытягивая вдоль оси симметрии.
По внешнему виду при схематическом построении эллиптический и круговой
цилиндры выглядят одинаково.

34.

Гиперболические цилиндры
В качестве направляющей этих цилиндров служит гипербола.
x2 y2
1
a 2 b2
ось симметрии OZ
x2 y2
2 2 1
a b
y2 z2
2 1 ось симметрии OX
2
b
c
x2 z 2
2 1 ось симметрии OY
2
a c
При построении гиперболических цилиндров обязательно нужно
правильно определить мнимую и действительную оси гиперболы и ось
симметрии самого цилиндра.

35.

Параболические цилиндры
Направляющей этих цилиндров является парабола.
x 2 2 py
ось симметрии OZ
y 2 2 px
ось симметрии OZ
y 2 2 pz
ось симметрии OX
z 2 2 py
ось симметрии OX
x 2 2 pz
ось симметрии OY
z 2 2 px
ось симметрии OY
x 2 2 py
При построении цилиндра нужно определить основные параметры параболы:
координаты вершины, ось симметрии и направление ветвей, построить
параболу, а затем уже строить цилиндр с соответствующей осью симметрии.