Кривые второго порядка

1.

Кривые второго порядка.
• Эллипс.
• Гипербола.
• Парабола.
• Исследование общего уравнения кривой.
• Поверхности второго порядка.
1

2.

Кривые второго порядка.
В аналитической геометрии линией на плоскости
называют все точки плоскости, координаты
которых удовлетворяют уравнению F(x, y) = 0, где
F(x, y) – многочлен степени n.
Степень многочлена n называют порядком линии
Кривые второго порядка – это все точки
плоскости, координаты которых удовлетворяют
уравнению F(x, y) = 0, где F(x, y) – многочлен
второй степени.
Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0
2

3.

Кривые второго порядка.
вырожденные
кривые
1. пустое множество
2. точка
3. прямая
4. пара параллельных
или пересекающихся
прямых
невырожденные
кривые
1. эллипс
2. гипербола
3. парабола
3

4.

Определение. Эллипсом называется множество всех
точек плоскости, сумма расстояний от которых до
двух фиксированных точек есть постоянное число.
Обозначим фиксированные точки F1 и F2.
Эти точки называют фокусами эллипса, а середину
отрезка F1F2 – центром эллипса.
Обозначим расстояние между фокусами через 2c, а
сумму расстояний от точек эллипса до фокусов – 2a.
M2
M1
M3
F1
2c
F1F2 2c
F2
2a > 2c a > c
F1M1 F2 M1 2a
F1M 2 F2 M 2 2a
F1M 3 F2 M 3 2a
4

5.

Получим уравнение эллипса.
Выберем систему координат так, чтобы фокусы лежали
на оси Ox симметрично относительно начала координат.
Найдём координаты фокусов:
F1F2 2c F1( c, 0) и F2 (c, 0)
M
F1
2c
F2
Пусть М(x,y) – произвольная
точка эллипса.
2
2
(
x
c
)
y
F1M {x c, y} F1M
2
2
(
x
c
)
y
F2 M {x c, y} F2 M
F1M F2 M 2a
( x c)2 y 2 ( x c)2 y 2 2a
5

6.

( x c)2 y 2 ( x c)2 y 2 2a
Избавляясь от корней, можно получить
(a 2 c2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c2 )
2
2
2a > 2c a > c a c 0
Обозначим через b a 2 c2
Тогда получаем b2 x2 a2 y 2 a2b2
x2 y2
–
каноническое
уравнение
2 1
2
эллипса
a
b
b a
6

7.

x2 y2
2 1
2
a
b
Исследование формы эллипса
1. Ox и Oy – оси симметрии,
начало координат – точка симметрии
2. Найдём точки пересечения с осями координат.
2
y
(0, –b) и (0, b) – точки
y
b
x 0
1
2
пересечения с осью Oy
b
2
x
(–a,
0)
и
(a,
0)
–
точки
y 0
1 x a
2
пересечения с осью Ox
a
B2
A1, A2 , B1, B2 – вершины эллипса
F2 A2
A1 F1
B1
Отрезки A1 A2 и B1B2 , а также их
длины 2a и 2b – соответственно
большая и малая оси эллипса.
Числа a и b – большая и малая полуоси эллипса.
7

8.

B2
F2 A2
A1 F1
B1
x a
2 1
3.
1 и 2 1
2
2
y b
a
b
a
b
эллипс лежит внутри прямоугольника, образованного
прямыми x= ± a и y= ± b.
x2
y2
x2
y2
4. Средствами математического анализа можно
исследовать на возрастание и убывание,
на выпуклость и вогнутость.
Если |x| увеличивается, то |y| – уменьшается.
8

9.

1) Пусть a = b = r
x2
y2
1
x2 y 2 r2
r2 r2
Так как b2 a 2 c2 и a b, то c 0
фокусы F1 и F2 совпадают
множество точек, равноудалённых от фокуса
окружность.
x2 y2
2) 2 2 1, но a b – эллипс, но фокусы лежат на
a
b
оси Oy.
( x x0 )2
( y y0 )2
3)
1 – эллипс с центром,
2
2
a
b
Определение.
Эллипсом
называется
смещённыммножество
в точку (x0,всех
y0).
точек плоскости, сумма расстояний от которых до
двух фиксированных точек есть постоянное число. 9

10.

Определение. Гиперболой называется множество
всех точек плоскости, для которых модуль разности
расстояний до двух фиксированных точек плоскости
есть постоянное число, причём меньшее расстояния
между фиксированными точками.
Обозначим фиксированные точки F1 и F2.
Эти точки называют фокусами гиперболы, а середину отрезка F1F2 – центром гиперболы.
Обозначим расстояние между фокусами через 2c, а
модуль разности расстояний от точек гиперболы до
фокусов – 2a.
10

11.

M1
M3
F1F2 2c
M2
F1
2c
F2
По определению 2a < 2c a < c
F1M1 F2 M1 2a
F1M 2 F2 M 2 2a
F1M 3 F2 M 3 2a
Выберем систему координат так, чтобы фокусы лежали
на оси Ox симметрично относительно начала координат.
Найдём координаты фокусов: F1( c, 0) и F2 (c, 0)
Пусть М(x,y) – произвольная точка гиперболы.
2
2
(
x
c
)
y
F
M
{
x
c
,
y
}
1
F1M
F2 M {x c, y} F2 M ( x c) y
2
2
2
2
2
2
(
x
c
)
y
(
x
c
)
y
2a
F1M F2 M
11

12.

( x c)2 y 2 ( x c)2 y 2 2a
( x c)2 y 2 ( x c)2 y 2 2a
Избавляясь от корней, можно получить
(a 2 c2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c2 )
2
2
2a < 2c a < c c a 0
Обозначим через b c2 a 2 , то есть a 2 c2 b2
Тогда получаем b2 x2 a 2 y 2 a 2b2
x2
y2
– каноническое уравнение
2 1
2
гиперболы
a
b
12

13.

Исследование формы гиперболы
x2
a2
y2
b2
1
1. Ox и Oy – оси симметрии,
начало координат – точка симметрии
2. Найдём точки пересечения с осями координат.
y2
x 0 2 1 точек пересечения с осью Oy нет
b
2
x
y 0
x a (–a, 0) и (a, 0) – точки
1
a2
пересечения с осью Ox
Точки A1 (–a, 0) и A2 (a, 0) называются вершинами
гиперболы.
Пусть B1(0, b) и B2 (0, b) .
13

14.

B2
A2 F2
F1 A1
B1
Отрезки A1 A2 и B1B2 , а также их длины 2a и 2b называют соответственно действительной и мнимой
осями гиперболы.
Числа a и b называют соответственно действительной
и мнимой полуосями гиперболы.
Прямоугольник, образованный прямыми x=± a и y=± b
называют основным прямоугольником гиперболы. 14

15.

3.
x2
2
y2
2
1
y2
2
1
x2
2
1
x2
2
0
x2
2
1
b
a
a
b
a
x a, то есть гипербола лежит вне полосы,
образованной прямыми x= ± a.
В силу симметричности относительно оси Oy, гипербола состоит из двух частей, называемых ветвями
гиперболы.
a
4. Средствами математического анализа можно
исследовать на возрастание и убывание,
на выпуклость и вогнутость.
Если |x| увеличивается, то |y| – увеличивается.
b
5. Можно показать, что прямые y x являются
a
асимптотами гиперболы
15

16.

B2
A2 F2
F1 A1
B1
1)
x2
2
y2
2
1 – гипербола, но фокусы лежат на оси Oy,
a
b
ветви направлены вверх и вниз.
2)
( x x0 )2
a
2
( y y0 )2
b
2
1 – гипербола с центром,
смещённым в точку (x0, y0).
16

17.

Определение. Параболой называется множество всех
точек плоскости, равноудалённых от фиксированной
точки и фиксированной прямой.
Обозначим фиксированную точку F, эта точку называют фокусом параболы. Фиксированную прямую называют директриссой параболы.
Обозначим расстояние от фокуса до директриссы
через p.
N2
N1
M2
M1
NM1 FM1
NM 2 FM 2
p
F
17

18.

Получим уравнение параболы.
Выберем систему координат так, чтобы начало координат находилось посередине между фокусом и директриссой, а ось Oy была параллельна директриссе.
Тогда фокус имеет координаты:
x
F ( p / 2, 0)
Пусть М(x,y) – произвольная точка
F
p
параболы.
2
p 2
p
2
(
x
)
y
{
x
,
y
}
F
M
FM
1
2
2
p 2
p
p
2
x (x ) y x
2
2
2
M
N
p
2
p
2
NM
18

19.

2
p
p
2
x y x
2
2
2
px y 2 px
y 2 2 px – каноническое уравнение параболы
p 0
Исследование формы параболы
1. Ox – ось симметрии, точек симметрии нет
2. (0,0) – точка пересечения с осями координат,
эта точка называется вершиной параболы.
y2
3. x
, но p 0 x 0, то есть парабола распо2p
ложена справа от оси Oy.
4. Можно исследовать на возрастание и убывание, на
выпуклость и вогнутость.
Если x увеличивается, то |y| – увеличивается.
19

20.

1) y 2 2 px
парабола, ветвь влево
y
F
F
x
x 2 py
парабола, ветвь вниз
2
F
x 2 2 py
парабола, ветвь вверх
F
2) ( y y0 )2 2 p( x x0 )
вершина параболы
смещена в точку (x0, y0)20

21.

Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0
Можно показать, что при повороте координатных осей
на определённый угол слагаемое Bxy отсутствует
Ax2 Cy2 Dx Ey F 0
1. A и C одного знака.
Пусть A > 0 и C > 0.
Если A и C одного знака, то говорят, что кривая
второго порядка имеет эллиптический тип.
Кривая эллиптического типа может являться эллипсом, точкой или пустым множеством.
При этом также говорят, что эллипс может вырождаться в точку или пустое множество.
21

22.

Ax Cy Dx Ey F 0
2
2
2. A и C разного знака.
Пусть A > 0 и C < 0.
Если A и C разного знака, то говорят, что кривая
второго порядка имеет гиперболический тип.
Кривая гиперболического типа может являться
гиперболой или парой пересекающихся прямых.
При этом также говорят, что гипербола может вырождаться в пару пересекающихся прямых.
22

23.

Ax Cy Dx Ey F 0
2
2
3. Один из коэффициентов A или C равен нулю.
Если один из коэффициентов A или C равен нулю,
то говорят, что кривая второго порядка имеет
параболический тип.
Кривая параболического типа может являться
параболой, парой параллельных прямых, одной
прямой или пустым множеством.
При этом также говорят, что парабола может вырождаться в пару параллельных прямых, в одну
прямую или в пустое множество.
23

24.

Поверхности второго порядка.
В аналитической геометрии поверхностью называют все точки пространства, координаты которых
удовлетворяют уравнению F(x, y, z) = 0, где F(x, y, z)
– многочлен степени n.
Степень многочлена n называют порядком поверхности.
Поверхности второго порядка – это все точки
пространства, координаты которых удовлетворяют
уравнению F(x, y , z) = 0, где F(x, y , z) – многочлен
второй степени.
A11x 2 A22 y 2 A33z 2 A12 xy A13 xz A23 yz
A10 x A20 y A30 z A00 0
24

25.

Поверхности второго порядка.
вырожденные
1. пустое множество
2. точка
3. плоскость
4. пара параллельных
или пересекающихся
плоскостей
невырожденные
1. эллипсоид
2. однополостный гиперболоид
3. двухполостный гиперболоид
4. эллиптический параболоид
5. гиперболический параболоид
6. эллиптический конус
7. эллиптический цилиндр
8. гиперболический цилиндр
9. параболический цилиндр
25

26.

A11x 2 A22 y 2 A33z 2 A12 xy A13 xz A23 yz
A10 x A20 y A30 z A00 0
Можно показать, что при выборе определённым
образом системы координат, любая невырожденная
поверхность второго порядка задаётся уравнением
одного из девяти видов, называемым каноническим.
Исследуем каждую из невырожденных поверхностей
второго порядка методом параллельных сечений, то
есть рассмотрим линии пересечения данной поверхности с плоскостями, параллельными координатным
плоскостям.
26

27.

1. Эллипсоид
x2
a
2
y2
b
2
z2
c
2
1
Проведём сечения параллельно плоскости xOy: z z0
2
2
2
x
y
z
0
1
2
2
2
z
a
b
c
Параллельно yOz:
2
2
2
y
z
x0
2 1 2
2
b
c
a
Параллельно xOz:
x2 z2
y0 2
2 1 2
2
a
c
b
c
a
b
b
y
a
x
c
27

28.

2. Однополостный гиперболоид
x2
2
y2
2
z2
a
b
c
Параллельно xOy:
x2 y2
z02
2 1 2
2
a
b
c
Параллельно yOz:
2
2
2
y
z
x0
2 1 2
2
b
c
a
Параллельно xOz:
x2 z2
y0 2
2 1 2
2
a
c
b
2
z
1
b
a
y
x
28

29.

3. Двуполостный гиперболоид
x2
2
y2
2
z2
a
b
c
Параллельно xOy:
x2 y2
z02
2 1 2
2
a
b
c
Параллельно yOz:
2
2
2
y
z
x0
2 1 2
2
b
c
a
Параллельно xOz:
x2 z2
y02
2 1 2
2
a
c
b
2
z
1
c
y
x
c
29

30.

4. Эллиптический параболоид
x2
2
y2
2
2 pz
a
b
Параллельно xOy:
x2 y 2
2 2 pz0
2
a
b
p 0
z
Параллельно yOz:
2
2
y
x0
2 pz 2
2
b
a
Параллельно xOz:
x2
y02
2 pz 2
2
a
b
y
x
30

31.

5. Гиперболический параболоид
Параллельно xOy:
Параллельно yOz:
y2
x02
2 2 pz 2
b
a
x
2
a
2
y
b
2
2
z
2 pz0
x2
a
2
y2
b
2
2 pz
p 0
Параллельно xOz:
2
2
x
y0
2 pz 2
2
y
a
b
x
31

32.

6. Эллиптический конус
x2
2
y2
2
z2
2
z
0
a
b
c
Параллельно xOy:
x 2 y 2 z02
2 2
2
a
b
c
Параллельно yOz:
2
2
2
y
z
x0
2 2
2
b
c
a
Параллельно xOz:
x2 z2
y02
2 2
2
a
c
b
y
x
32

33.

7. Эллиптический цилиндр
x2
2
y2
2
1
a
b
Параллельно xOy:
x2 y 2
2 1
2
a
b
Параллельно yOz:
2
2
y
x0
1 2
2
b
a
Параллельно xOz:
x2
y02
1 2
2
a
b
z
y
x
33

34.

8. Гиперболический цилиндр
x2
2
y2
2
1
a
b
Параллельно xOy:
x2 y 2
2 1
2
a
b
Параллельно yOz:
2
2
y
x0
2 1
2
b
a
Параллельно xOz:
x2
y0 2
1 2
2
a
b
z
y
x
34

35.

9. Параболический цилиндр
y 2 2 px
p 0
z
Параллельно xOy:
2
y 2 px
Параллельно yOz:
y 2 px0
y
2
x
Параллельно xOz:
2 px y02
35

36.

z
y
x
36