Прямая и плоскость в пространстве. (Лекция 6)

1. Математика. Лекция 6.

Прямая и плоскость в пространстве.

2. Уравнение плоскости по заданным точке и нормальному вектору.

• Mo(xо, yо, zо) – заданная точка,
лежащая в плоскости Q.
–
нормальный вектор плоскости.

3. Общее уравнение плоскости.

• Любой плоскости соответствует уравнение первой степени
(линейное) относительно текущих декартовых координат.
• Верно и обратное: любому уравнению первой степени
относительно переменных x, y и z соответствует некоторая
плоскость.

4. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями.

5. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

• Две плоскости параллельны
тогда и только тогда, когда
коллинеарны их нормальные
векторы.
• Для параллельности двух
плоскостей необходимо и
достаточно, чтобы
коэффициенты при
соответствующих текущих
координатах были
пропорциональны:
• Две плоскости
перпендикулярны тогда и
только тогда, когда
ортогональны их нормальные
векторы.
• Для перпендикулярности двух
плоскостей необходимо и
достаточно, чтобы сумма
произведений коэффициентов
при одноименных текущих
координатах равнялась нулю:

6. Прямая в пространстве.

• Линию в пространстве, в том числе и прямую, можно
рассматривать как пересечение двух поверхностей.
• Любая линия в пространстве определяется как геометрическое
место точек, координаты которых одновременно удовлетворяют
уравнению каждой поверхности.

7. Прямая в пространстве.

• Широкое применение, особенно в теоретической механике,
физике и других дисциплинах, находит параметрическое задание
линии, при котором текущие декартовы координаты задаются как
некоторые функции параметра t , который обычно трактуют как
время. Уравнения линии в этом случае называют законом
движения точки, а саму линию - траекторией движения.

8. Прямая как пересечение плоскостей.

• Рассмотрим две плоскости Q1 и Q2 , заданные уравнениями
• Если в уравнениях системы данной системы коэффициенты при
текущих координатах не пропорциональны, то есть плоскости не
параллельны, то эта система определяет прямую L как
пересечение плоскостей Q1 и Q2.

9. Векторное уравнение прямой

• Положение прямой L в
пространстве вполне определяется
одной её фиксированной точкой
Mo(xо, yо, zо) и направляющим
вектором. Рассмотрим
• Эти векторы связаны соотношением
, причем
,
• тогда

10. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

11. Канонические уравнения прямой в пространстве.

12. Уравнение прямой по двум заданным точкам.

• Пусть прямая проходит через две заданные точки M1(x1, y1, z1) и
M2(x2, y2, z2) . Запишем каноническое уравнение прямой, взяв в
качестве направляющего вектор
• Тогда уравнение прямой по двум заданным точкам:

13. Угол между прямыми в пространстве.

• Рассмотрим две прямые L1 и L2 , для которых известны их
канонические уравнения, тогда один из двух смежных углов,
образованных прямыми, равен углу между их направляющими
векторами, поэтому

14. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

• Условия параллельности и перпендикулярности прямых
равносильны соответствующим условиям для направляющих
векторов:

15. Угол между прямой и плоскостью.

• Углом между прямой и
плоскостью называется угол
между прямой и её проекцией на
эту плоскость.
• Рассмотрим прямую L и
плоскость Q , заданные
уравнениями:
• Тогда синус угла между ними:

16. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

• Условия параллельности и
перпендикулярности прямой
L и плоскости Q
равносильны соответственно
условиям ортогональности и
коллинеарности
направляющего вектора
прямой и нормального
вектора плоскости: