Угол между прямыми (задача)

1.

Угол между прямыми
b
a
180
0
Пусть
- тот из углов, который не превосходит любой из
трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между
пересекающимися прямыми равен .

2.

m
n
1000
800
b
300
a
Угол между прямыми а и b
300.
Угол между прямыми m и n
800.

3.

Угол между скрещивающимися прямыми
b
a
n
m
М
а b
Через произвольную точку М1 проведем прямые m и n,
соответственно параллельные прямым a и b.
Угол между скрещивающимися прямыми a и b равен

4.

Угол между скрещивающимися прямыми
b
a
m
М
а b
Точку М можно выбрать произвольным образом.
В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из
скрещивающихся прямых.

5.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все
ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми BA1 и DB1.
1 способ
E1
D1
F1
C1
А1
B1
1
E
D
F
C
А
1
B
1

6.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все
ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми BA1 и DB1.
Из АА1 В :
E1
А1 В 2 АА1 АВ 2 ;
D1
2
E1
1
D1
F1
А1
1
C1
B1
2
E
2
1
D
А1 В 1 1 ; F
1
2
А1 В 2;
2
2
2
1
С1
3
2
1
А1 В 2 ;
B1
A1
А1 В 2 .
Из E1 D1 В1 :
Из DD1 В1 :
C E1 В1 E1 D1 D1 В1 ; DВ12 D1 D12 D1 В12 ;
F
2
2
1
2
1
B
2 2 12 D1 В1 ;
Угол между прямыми BA1 и DB1
2
D
В
равен углу между DB1 и прямой 1 1 3;
DE1, которая параллельна BA1. D В 3;
1 1
А
D1 В1 3.
2
DВ1 1
2
2
DВ1 4;
2
DВ1 2;
DВ1 2.
3 ;
2

7.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все
ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми BA1 и DB1.
Применим теорему косинусов
B1 E1 DE1 DB1 2 DE1 DB1 cos ;
2
E1
F1
1
D1
2
2
2
А1
2
C1
B1
2
1
2
2 2
2
2
2
2 2 2 cos ;
4 2 4 4 2 cos ;
4 6 4 2 cos ;
!
Если вы получите
1
4 2 cos 6 4; отрицательное
D
E
значение косинуса, 4 2 cos 2;
это говорит о том, что
F
C
2
угол тупой.
cos
;
1
А
1
Вспомним, что в
B
4 2
стереометрии углом
Угол между прямыми BA1 и DB1
1
между прямыми
;
равен углу между DB1 и прямой cos
2 2
называют острый.
DE1, которая параллельна BA1.
Перейти к острому углу
2
cos
;
просто. cos m
4

8.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все
ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми BA1 и DB1.
2 способ Применим метод координат.
A1B{0;1; 1}; DB1{ 3; 0;1}
z
x1 x2 y1 y2 z1 z2
cos
E1
x12 y12 z12 x22 y22 z22
D1
F1
А1?
( 3 ;0;1)
B1(?3 ;1;1)
C1
cos
1
0 3 1 0 ( 1) 1
0 1 1
2
E
F
1
А
х
1
2
3 0
2
?
D (0;1;0)
y
3
2
C
B (? 3 ;1;0)
0 0 1
2 4
1 2
2
2 2 2
4
cos
2
4
2
12