Similar presentations:
Задачи для подготовки к ЕГЭ по математике (раздел С2)
1.
12.
Раздел 1. Угол между прямымиРаздел 2. Угол между прямой и плоскостью
Раздел 3. Угол между двумя плоскостями
Раздел 4. Расстояние от точки до прямой
Раздел 5. Расстояние от точки до плоскости
Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми
3.
Раздел 1Угол между
прямыми
3
4.
Раздел 1. Угол между прямымиВ кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.
Найдите угол между прямыми DA1 и BD1.
D1
А1
C1
B1
1
C
D
1
А
B
Решение:
Рассмотрим ортогональную
проекцию AD1 прямой BD1
на плоскость ADD1.
AD1 DA1.
По теореме о трех
перпендикулярах следует, что
DA1 BD1, т.е. искомый угол
между прямыми DA1 и BD1
равен 900
5.
Раздел 1. Угол между прямымиВ правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1и ВС1.
Решение:
Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между
параллельными им прямыми, проходящими через одну точку.
ОС1||АВ1, так как четырехугольник АВ1С1О является
параллелограммом.
Поэтому искомый угол - это угол
ОС1В. Из ОС1В по теореме
косинусов, получаем, что
cos OC1 B
2 2 1 3
0,75
2 2 2 4
(Т.к. ОВ=1, ВС1= 2, ОС1= 2)
Ответ: 0,75
5
6.
В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра которойравны 1, найдите угол между прямыми AB1 и BE1.
Решение №1.
Так как основание призмы –
правильный шестиугольник,
то E1 A1 A1B1
Так как призма прямая,
то E1 A1 AA1
Поэтому E1 A1 AA1B1B
т.е. A1B есть проекция
наклонной E1B на плоскость
AA1B1B
Диагонали в квадрате AA1B1B
перпендикулярны между
собой.
E1B
По теореме о трех перпендикулярах наклонная
и прямая AB1 , перпендикулярны между собой, т.е. искомый
угол равен 90о.
Ответ. 90°.
7.
Раздел 2Угол между
прямой и
плоскостью
7
8.
Раздел 2. Угол между прямой и плоскостьюДано: АВCD – треугольная пирамида, ∆АВС – прямоугольный ,
C=90°, АС=6 2 , ВС =5, ВD= 39
Решение:
ВD (АВС) . 3
DH - проекция наклонной
D
Найти: (DС; (АВD))
DC на плоскость ABD
AB =
39
H
В
2
3
5
C
(DС; (АВD)) =
400 25
9
3
АВ ВС
ВС ВН
ВС 2
ВН
3
АВ
∆ВСН – египетский, СН = 4.
А
6
25
С DH = 30°
Из ∆BDC, DC=8
∆DHC – прямоугольный
1
sin CDH = .
2
9.
Раздел 2. Угол между прямой и плоскостьюА1
C1
Дано: АВСDFKA1B1C1D1F1K 1 –
правильная призма, АВ=4, AA1= 2 5
АА1 (АВС)
F1
K1
Т
B1
D1
B
Найти: (В1F; (BB1C1))
C
А
D
K
F
C
B
А
M
120°
4
D
4
K
F
Решение:
B1C проекция наклонной B1F на
плоскость BB1 C1C
DM = 2, CF= 2 16 4 4 3
∆CB1C1 – прямоугольный
B1 C = 20 16 6
∆ B1 CF – прямоугольный
tg FB1C
CF
4 3
3
B1C
6
3
В1F; (BB1C1))=
FB1C - 30°
9
10.
Раздел 2. Угол между прямой и плоскостьюВ1
С1
А1
D1
5
Решение:
В
С
?
А
Дан прямоугольный
Дано:
АВСDA1B1C1D1 параллелепипед
АВСDA
прямоугольный
1B1C1D1, в основании которого
лежит квадрат
со стороной
2,5.–
параллелепипед,
АВСD
Диагональ
квадрат, DB1 равна 5. Найдите
градусную
угла между
AD =меру
2,5, диагональ
B1D = 5
диагональю DВ1 и плоскостью
основания
Найти:
(В1D;АВС.
(АВC))
2,5
(В1D; (АВC)) =
В 1DB
D
ABD: BD = AB2 + AD2 = 2•AD2 = 2 • 2,52 = 2,5 2
B1DB:
гипотенуза
B1ВD = 90°
B 1D = 5
B1D В = 45°
(В1D; (АВC)) = 45°
Ответ: 45°
COS
2,5 2
BD
В 1DB =
=
=
B 1D
5
2
2
11.
Раздел 2. Угол между прямой и плоскостьюДано: АВСDA1B1C1D1 - параллелепипед,
АВСD – параллелограмм,
АА1 (АВС) .
Т
Найти: (В1D; (DD1C1))
С1
В1
D1
С
В
А
DH- проекция наклонной B1D
на плоскость DCC1D1
H
А1
D
Решение:
(В1D; (DD1C1))= B1DH искомый
12.
Раздел 3Угол между
двумя
плоскостями
12
13.
Раздел 3. Угол между двумя плоскостямиВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у
которого AB = 6, BC = 6, CC1 = 4, найдите тангенс угла
между плоскостями ACD1 и A1B1C1.
Решение.
D1
C1
AD1 =D1C, ACD1 –
равнобедренный
плоскость A1B1C1 пл. АBC
АВСD – квадрат, DО⊥AC.
А1
B1
4
C
D
6
O
А
6
2 2
Ответ:
3
B
1
1
DO DB AD 2 DC 2 3 2
2
2
D1О⊥ AC
D1ОD —
линейный угол искомого угла.
D1DО – прямоугольный
tg DOD1
DD1
4
2 2
DO 3 2
3
14.
Раздел 3. Угол между двумя плоскостямиДан куб АВСDA1B1C1D1. найдите угол между
плоскостями АВ1С1 и А1В1С
Решение
D1C ⊥ пл. АB1C1D.
D1С⊥C1D как диагонали квадрата
По теореме о трех перпендикулярах
D1С⊥AD D1C ⊥ пл. АВ1С1.
AD1 ⊥ пл. А1В1С.
AD1C - правильный, так как его
сторонами являются диагонали
граней куба
Поэтому D1C AD1= 60
Ответ: 60
14
15.
Раздел 3. Угол между двумя плоскостямиВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины
ребер: АА1= 5, АВ = 12, AD = 8. Найдите тангенс угла между
плоскостью ABC и плоскостью, проходящей через точку В
перпендикулярно прямой АК, если К — середина ребра C1D1.
Решение
(ABC) (AKE) равен линейному углу
между перпендикулярными им
прямыми.
КЕ||DD1, КЕ ⊥(ABC)
5
12
Для второй плоскости такой прямой
является АК.
8
АКЕ - искомый.
По теореме Пифагора из ADE AE=10
Из прямоугольного АКЕ. КЕ=5.
Тогда tg∠АКЕ=
АЕ 10
2
КЕ 5
15
16.
Раздел 4Расстояние
от точки
до прямой
16
17.
Раздел 4. Расстояние от точки до прямойДано:
М
АВС – правильный треугольник,
АС=12 3 , т.О – центр АВС,
ОМ (АВС), (АМ; (АВС))=60°
Найти: АМ
60°
В
А
О
К
С
Решение:
AOM- прямоугольный
MAO = 60 AMO = 30
AM = 2 AO
a3 3 12 3 3
AO R
12
3
3
AM 2 AO 24
Ответ: 24.
18.
Раздел 4. Расстояние от точки до прямойВ кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите
расстояние от точки С до прямой BD1 .
Решение.
D1
C1
А1
B1
BD1 (A1D1С В)
СМ BD1
1
В прямоугольном D1CB:
C
D
М
А
Ответ:
1
6
3
1
B
D1B=
3 , D1C= 2
sin B
CD1
2
BD1
3
В прямоугольном CMB:
CM
2
6
sin B
CM CB sin B 1
CB
3
3
18
19.
Раздел 5Расстояние
от точки
до плоскости
19
20.
Раздел 5. Расстояние от точки до плоскостиВ правильном тетраэдре DABC найдите расстояние от
вершины D до плоскости ABC.
Решение. BE=CE. Искомое расстояние равно высоте DH
треугольника ADE, для которого DE = 3
HE =
3 . Следовательно, DH = 6 2
.
6
3
6
Ответ:
.
3
21.
Раздел 5. Расстояние от точки до плоскостиВ правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые
ребра которой равны 2, а ребра основания – 1,
найдите расстояние от точки A до плоскости SCE.
Решение. Точка G пересечение AD и CE. Искомое расстояние
равно высоте AH SAG
3 39
13, AG = 3 , SO =
Откуда
AH
=
.
3.
13
2
2
Ответ: 3 39 .
13
SA = 2, SG =
2
22.
Раздел 6Расстояние
между двумя
прямыми
22
23.
Раздел 6. Расстояние между двумя прямымиB1
C1
D1
A1
C
B
A
Пусть АС и DC1 –
D
скрещивающиеся прямые,
принадлежащие смежным
граням АВСD и DD1C1C
соответственно.
Найдём расстояние
между ними.
23
24.
Раздел 6. Расстояние между двумя прямымиB1
A1
Дополнительное построение:
АВ1 , СВ1 и DВ1.
1
Но (DD1С1)║(АА1В1),т.к. дан куб
DС1 ∈ (DD1С1)
DС1║АВ1
АВ1∈ (АА1В1),
C
D
B
В результате1дополнительных построений
получли пирамиду DAB1C.
В пирамиде DAB1C, высота, опущенная из
вершины D на плоскость основания AB1C
будет являться искомым расстоянием
между скрещивающимися прямыми
АС и DC1.
C
Доказательство:
A
D
24
25.
Раздел 6. Расстояние между двумя прямымиB1
A1
C1
D1
B
A
C
D
Высота, опущенная из вершины D
на плоскость основания AB1C,
перпендикулярна плоскости этого
основания. Значит, она
перпендикулярна любой прямой
принадлежащей этой плоскости (по
определению).
Но АС ∈ (AB1C )
AB1 ∈ (AB1C ) h | AB1
h | (AB1C ) h | АС
Но, с другой стороны АВ1 ║ DС1
h | AB1
Значит, h | DС1.
Имеем: h | DС1
h | АС
Следовательно, h – общий
перпендикуляр для скрещивающихся
прямых АС и DС1.
Что и требовалось доказать.
Найдём эту высоту.
26.
Раздел 6. Расстояние между двумя прямымиРассмотрим
пирамиду B1АCD:
B1
C1
SАСD=½·СD·АD= ½·а2
D1
A1
Вывод: V1 = ⅓·½·а3
а
B
C
а
A
V1 = ⅓ ·h · SАСD.
h = B1В = а
а
D
27.
Раздел 6. Расстояние между двумя прямымиРассмотрим эту же пирамиду, но уже с вершиной в точке D:
B1
C1
D1
А1
1
d S AB1С
3
1
3 2
S AB1С AB1 B1C sin 60
a
2
2
V2
V2
В
А
1
3 2
d
a
3
2
C
Учитывая, чтоa V1
D
= V2 ,
получим d= 3 - искомое
расстояние.
27
28.
Раздел 6. Расстояние между двумя прямымиВ правильной 6-й призме A…F1,
ребра которой равны 1, найдите расстояние между
прямыми: AA1 и BC1.
Решение: О- центр описанной
окружности. ОВ=ОС=ВС=1
ОН АD, ОН BC. ОН – высота
равнобедренного ОВС.
ОН - искомое расстояние между
параллельными плоскостями
ADD1 и BCC1.
О
Н
Ответ:
3
2
3
ОН
2
29.
Раздел 6. Расстояние между двумя прямымиВ единичном кубе A…D1 найдите
расстояние между прямыми AB1 и BC1.
Решение. Искомое расстояние
равно
расстоянию
между
параллельными плоскостями
AB1D1 и BDC1. Диагональ A1C
перпендикулярна
этим
плоскостям и делится в точках
пересечения на три равные
части.
Следовательно,
искомое
расстояние
равно
длине
отрезка EF и равно 3
Ответ:
3
.
3
3
.
29