Основные теоремы о пределах. Способы вычисления пределов функций. (Семинар 5)

1.

Семинар 5. Основные теоремы о пределах. Основные способы вычисления
пределов функций
Предполагается, что функции, рассматриваемые в следующих теоремах определены на
некотором общем множестве Х, для которого точка а является предельной точкой.
Теорема 1 Если каждое слагаемое алгебраической суммы конечного числа функций
имеет предел при x a , то предел этой алгебраической суммы при x a существует
и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых.
Теорема 2 Если каждый из сомножителей конечного числа функций имеет предел при
x a , то предел произведения при x aсуществует и равен произведению пределов
сомножителей.
Следствие 1 Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Пусть С – постоянная, тогда lim x a [С g ( x)] lim x a С lim x a g ( x) С lim x a f ( x)
Следствие 2 Если функция f(x) имеет предел при x a , то предел при x a целой
положительной степени ее равен такой же степени предела этой функции, то есть
lim x a [ f ( x)] n [lim x a f ( x)] n
Пример
2
3
10 20 2 30 3
( x 1)( x 2) 2 ( x 30) 3
10
20
30
lim x
lim x 1 1 1 lim x 1 lim x 1 lim x 1 1 1 1 1
x6
x
x
x
x x x
Теорема 3 Если функция f(x) имеет предел при x a, отличный от нуля, то предел
1
обратной ей по величине функции
равен обратной величине предела данной
f ( x)
функции, то есть lim x a
1
1
f ( x) lim x a f ( x)

2.

Теорема 4 Если делимое f(x) и делитель g(x) имеют пределы при x a и предел
делителя отличен от нуля, то предел их частного при x a равен частному пределов
делимого и делителя, то есть
lim x a
f ( x) lim x a f ( x)
g ( x) lim x a g ( x)
Теорема 5 Если функция f(x) имеет предел при x a и n f ( x) (n – натуральное)
существует в точке а и в некоторой ее окрестности U a , то
lim x a n f ( x) n lim n a f ( x)
Теорема о промежуточной функции
Пусть в некоторой окрестности U a точки а функции f(x) заключена между двумя
функциями (x ) и (x), имеющими одинаковый предел А при x a , то есть
( x) f ( x) ( x) (1) и lim x a ( x) lim x a ( x) A (2), тогда функция f(x)
имеет тот же предел, то есть lim x a f ( x) A (3).
Вычисление пределов основано на применении основных теорем о пределах,
признаков существования пределов, а также теорем о бесконечно малых и бесконечно
больших функциях.
Рассмотрим вычисление пределов на различных примерах.
5x 2
1. Найти lim
x 4 2 x 3
Решение. Так как x 4 , то числитель стремится к числу 4*4+2=22, а знаменатель к
числу 2*4+3=11. Следовательно
5 x 2 22
lim
2
x 4 2 x 3
11

3.

3x 5
x 2 x 7
Решение. Числитель и знаменатель неограниченно возрастают при x . В таком
случае говорят, что имеет неопределенность вида . Разделив на х числитель и
знаменатель дроби, получим
3x 5
3 5/ x 3
lim
lim
x 2 x 7
x 2 7 / x
2
2. Найти
lim
2
x
9
3. Найти lim
x 3 x 2 3 x
Решение. Числитель и знаменатель при x 3 стремятся к нулю. Принято говорить,
0
x2 9
( x 3)( x 3) x 3
что получается неопределенность 0 . Имеем
.
x( x 3)
x
x 2 3x
2
x
Если x 3, то lim 2 9 lim x 3 . Но при x 3 дробь x 3 3 3 2 . Итак
x 3 x 3 x
x 3
x
x
3
2
x 9
lim 2
2
x 3 x
3x
x3 x2 x 1
4. Найти lim 3
x 1 x x 2 x 1
0
. Разложим на множители
0
x3 x 2 x 1
( x 1) 2 ( x 1)
x 1 0
lim
lim
0
числитель и знаменатель дроби. lim 3
x 1 x x 2 x 1
x 1 ( x 1)( x 1) 2
x 1 x 1
2
Решение. Здесь имеет место неопределенность вида

4.

x 3 10001
5. Найти lim 3
x 10 x 20 x 2 100 x
0
. Имеем
0
3
2
x 10001
( x 10)( x 10 x 100)
x 2 10 x 100
lim
lim
lim
, так как
x 10 x 3 20 x 2 100 x
x 10
x 10
x( x 10)
x( x 10) 2
Решение. Имеет место неопределенность вида
числитель дроби стремится к числу 300, а знаменатель стремится к нулю, то есть
является бесконечно малой величиной, следовательно рассматриваемая дробь –
бесконечно большая величина.
x 4 2
x
6. Найти lim
x 0
Решение умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю, то есть
сумму x 4 2 .Получим
lim
x 0
x 4 2
( x 4 2)( x 4 2)
x 4 4
1
1
lim
lim
lim
x 0
x 0
x
x( x 4 2)
x( x 4 2) x 0 x 4 2 4
7. Найти lim
x 0
5
(1 x) 3 1
x

5.

Решение. Положим 1 x y 5 ,
3
2
(1 x) 3 1
y
1
y
y 1
3
тогда lim
lim 5
lim 4
x 0
x 0 y 1
x 0 y y 3 y 2 y 1
x
5
3
2
8. Найти lim x 2 x 3x 4
x 4 x 3 3 x 2 2 x 1
Решение. Числитель и знаменатель неограниченно возрастают при x . В таком
5
случае говорят, что имеет неопределенность вида . Разделив числитель и
знаменатель дроби на старшую степень х, то есть x 3 получим
x 3 2 x 2 3x 4
1 2 / x 3 / x2 4 / x3 1
lim
lim
x 4 x 3 3 x 2 2 x 1
x 4 3 / x 2 / x 2 1 / x 3
4
9. Найти lim
3x 4 2
x
x 8 3x 4
4
Решение. Разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, то есть x
получим
3x 4 2
3 2 / x4
3
lim
lim
3
x
x 8 3 x 4 x 1 3 / x 3 4 / x 4 1
10. Найти lim
x
x 2 8x 3 x 2 4 x 3

6.

Решение. Имеет место неопределенность вида
выражение на сопряженное
x 8 x 3 x 4 x 3 lim
2
lim
x
2
( x 2 8 x 3 x 2 4 x 3 )( x 2 8 x 3 x 2 4 x 3)
x
lim
x
4x
x 2 8x 3 x 2 4 x 3
lim
. Умножим и разделим данное
x 8x 3 x 4 x 3
2
1
1 8 / x 3/ x2 1 4 / x 3/ x2
x
Примеры для самостоятельного решения.
x 2 6x 8
1. lim
x 2 x 2 8 x 12
1 x x2 1 x x2
2. lim
x 0
x2 x
2 x 3x 5 x 6
lim
3. x x 3 3x 2 7 x 1 4.
4
5. lim 3
x 0
2
x
1 x 1
2x 3
7. lim x
x 2 3
5
x
1
9. lim
x 1 x 4 1
6.
2
lim
x 1
4 x x2 2
x 1
lim (3 x 1 3 x )
x
4
8. lim
x 1
x 1
x 1
4
2
2