Функциональная линия в 9-летней школе

1. Функциональная линия в 9-летней школе

2. План

Краткая историческая справка
Цели изучения функции в основной школе
Различные трактовки понятия функции
Формирование понятия функции в
школьном обучении
Особенности изучения понятия функции с
учетом психологических особенностей
учащихся.
Реализация межпредметных связей и
связей с жизнью при изучении функции

3. Рекомендуемая литература

1.
2.
3.
4.
Дорофеев Г.В. Понятие функции в
математике и в школе МВШ 1978, №2
Мордкович А.Г. Новая концепция
школьного курса алгебры. МВШ 1996,
№6.
Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М.
1963
Цукарь А.Я. Изучение функции в VII
классе с помощью средств образного
характера. МВШ 2000, №4.

4. Краткая историческая справка

термин «функция» - в 1673 году Декарт - соответствие между
отрезками – ординатой и абсциссой некоторой точки
Яков и Иоганн Бернулли – аналитическая трактовка понятия
«функция»
Эйлер (1748 г.) рассматривает функцию переменного
количества: функция переменной величины есть
аналитические выражение, составленное каким-то способом
из этой переменной величины и из числа или постоянной
величины плюс линия, проведенная от руки
Н.И. Лобачевский (1834): функция как зависимость между
объектами, понимая под объектами числа
Дирихле (1837) распространяет это определение на объекты
разной природы, но оставляет статическим

5. Рене Декарт

1596-1650
французский философ, математик и
естествоиспытатель
Рассуждения о методе, чтобы верно
направлять свой разум и отыскивать истину
в науках
целью Декарта было описание природы при
помощи математических законов
разрабатывает новую область математики —
аналитическую геометрию

6. Факторы, определяющие значение и место функции

Основные понятия алгебры и геометрии
трактуются на функциональной основе
Использование свойств функций лежит в
основе метода решения математических задач
Функция имеет общекультурное,
мировоззренческое значение
Функциональные зависимости используются в
разных науках и учебных дисциплинах

7. Содержание функциональной линии в основной школе

Числовые функции. Понятие функции.
Область определения функции. Способы
задания функции. График функции,
возрастание и убывание функции, наибольшее
и наименьшее значения функции, нули
функции, промежутки знакопостоянства.
Чтение графиков функций.

8. Содержание функциональной линии в основной школе

Функции, описывающие прямую и обратную
пропорциональную зависимости, их
графики. Линейная функция, ее график,
геометрический смысл коэффициентов.
Гипербола. Квадратичная функция, ее
график, парабола. Координаты вершины
параболы, ось симметрии. Степенные
функции с натуральным показателем, их
графики. Графики функций: корень
квадратный, корень кубический, модуль.
Использование графиков функций для
решения уравнений и систем.

9. Содержание функциональной линии в основной школе

Примеры графических зависимостей,
отражающих реальные процессы:
колебание, показательный рост;
числовые функции, описывающие
эти процессы.
Параллельный перенос графиков
вдоль осей координат и симметрия
относительно осей.

10. Содержание функциональной линии в основной школе

Числовые последовательности. Понятие
последовательности. Понятие предела
последовательности. Свойства числовых
последовательностей. Арифметическая и
геометрическая прогрессии. Формулы
общего члена арифметической и
геометрической прогрессий, суммы первых
нескольких членов арифметической и
геометрической прогрессий. Бесконечно
убывающая геометрическая прогрессия.

11. Цели изучения функции в основной школе

Обучающие
Формирование системы знаний об основных элементарных
функциях: линейной, квадратичной, y 1 , y x
x
и связанных с ними преобразованиях графиков
Образовательные
Формирование представлений о месте функции в системе
математических знаний и о роли функции для исследования
объектов и явлений из других предметных областей и
окружающего мира
Развивающие
развитие функционального мышления
формирование умения работать с абстрактным материалом,
умения анализировать и др.

12. Различные трактовки понятия функции

Классические
• переменная величина, числовое значение
которой изменяется в зависимости от
числового значения другой
закон (правило), по которому значения
зависимой переменной величины зависят
(соответствуют) значениям рассматриваемой
зависимой переменной

13. Различные трактовки понятия функции

Современные
• закон, по которому элементу х из множества Х
ставится в соответствие один и только один
элемент из У
соответствие, по которому элементу х из
множества Х ставится в соответствие один и
только один элемент из У
отношение хFу, где х принадлежит Х, а у
принадлежит У, если порожденное им
множество пар однозначно, т.е. в нем нет
различных пар с одинаковыми первыми
элементами

14. Трактовки понятия функции в школьных учебниках

Определение 1. («Алгебра-9» Н.Я.Виленкин)
Функцией f(x) называется правило, которое каждому
элементу х из множества Х ставит в соответствие
единственный элемент у из У.
Определение 2. ( «Алгебра-7» Ш.А.Алимов и др.)
Если каждому значению х из некоторого множества чисел
поставлено в соответствие по некоторому правилу число
у, то говорят, что на этом множестве задана функция.
Для того чтобы подчеркнуть, что у зависит от х, часто
пишут: у(х). При этом х называют независимой
переменной, а у(х) – зависимой переменной или
функцией.

15. Выводы

Смешиваются классическая и Т-М
трактовки
Необходимо формирование понятия
«функция» и в первом и во втором
смыслах, так как:
• 1 подход удобен, когда функция
рассматривается как модель (физического
процесса или явления и т.д.)
2 подход удобен для изучения взаимнообратных функций, графика функции, для
изучения нечисловых функций

16. Этапы формирования понятия функции в основной школе

1 этап – пропедевтический (начальная
школа)
• зависимость между величинами
2 этап – пропедевтический (5-6 класс)
• таблицы значений переменных
• графики температур
• диаграммы

17. Формирование понятия функции в основной школе

3 этап – функция в классическом
понимании (7 класс)
• как связь
• как закон
• как зависимая переменная
Цель этапа: сформировать общее
представление о функции и ее
свойствах, о разных способах задания
функции

18. Формирование понятия функции в основной школе

4 этап – формирование системы знаний
об основных классах элементарных
функций (8-9 класс)
Переход к пониманию функции как
соответствия между множествами

19. Примеры заданий

1.
2.
3.
Даны пары множеств и задано соответствие между ними.
Является ли оно функцией?
Даны пары множеств. Задать 2 разных соответствия между
ними. Являются ли они функциями?
Цель: сформировать понимание, что задание функции
требует определения трех объектов – двух множеств и
правила (закона) связи между ними.
«Найди пару». Даны несколько графиков функций и
несколько формул, задающих эти же функции. Для каждого
графика найти соответствующую ему формулу.
Цель: сформировать представление о разных способах
задания функции.

20. Особенности изучения понятия функции с учетом психологических особенностей учащихся

Обучение функциям позволяет одну
и ту же информацию представлять в
различной форме:
аналитически
графически
словесно

21. Особенности изучения понятия функции с учетом психологических особенностей учащихся

Одни и те же задания можно выполнять
двумя способами:
графически
аналитически
Возможность многие понятия и свойства
вводить многосенсорно

22. Задание 1

Придумайте задание, предполагающее
работу с одним и тем же
математическим содержанием, но
ориентированное на выполнение
учащимися разных когнитивных стилей:
• аналитиков и синтетиков
• визуалов, аудиалов и кинестетиков

23. Реализация межпредметных связей и связей с жизнью при изучении функции

Функция как математическая модель
Задачи с различным предметным
содержанием:
физика
химия
история
география
экономика
…

24. Реализация межпредметных связей и связей с жизнью при изучении функции

Функция как математическая модель
Рассмотрение реальных ситуаций:
функциональные зависимости
нефункциональные зависимости
соответствия – функции
соответствия, не являющиеся
функциями

25. Задание 2

Придумайте примеры задач с различным
предметным содержанием (не менее 3),
иллюстрирующие понятие функции, или
решающиеся с помощью функции
Приведите примеры реальных ситуаций
(не менее 2), выражающих
функциональные зависимости и/или
соответствия