Решение простейших тригонометрических уравнений

1. Решение простейших тригонометрических уравнений.

2.

1) уметь отмечать точки на числовой
окружности;
2) уметь определять значения синуса, косинуса,
тангенса и котангенса для точек числовой
окружности;
3) знать свойства основных
тригонометрических функций;
4) знать понятие арксинуса, арккосинуса,
арктангенса, арккотангенса и уметь отмечать их
на числовой окружности.
04.08.2017
2

3.

у
Арксинусом числа
а называют такое
число из отрезка
[- П/2; П/2], синус
которого равен а.
1
П/2
а
arcsin а
х
0
-а
-1
-arcsin а
- П/2
arcsin (-a)=-arcsin a

4.

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение sin t=a.
1) IаI>1
y
1
Нет точек пересечения с
окружностью.
Уравнение не имеет
1
решений.
1
x
1

5.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение sin t=a.
2) IаI=1
sin t=1
t=П/2+2Пk
sin t=-1
t=-П/2+2Пk
1 2
1
1
x
1
2
Частный
случай.

6.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение sin t=a.
1
3) а=0
t=Пk
1
1
0
1
Частный
случай.
x

7.

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение sin t=a.
4) IаI<1
y
1
П-arcsin а
Корни, симметричные
относительно Оу
могут быть записаны:
а
1
arcsin а
1
x
arcsin a 2Ïk
t
Ï arcsin a 2Ïk
или
t=(-1)karcsin
1
a+Пk
Общий
случай.

8.

Арккосинусом числа
а называют такое
число из промежутка
[0;П ], косинус
которого равен а
у
П-arccos a
1
arccos а
х
П
-а
0
а
-1
arccos (-a)=-П-arccos a
0

9.

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.
1) IаI>1
y
1
Нет точек пересечения с
окружностью.
Уравнение не имеет
1
решений.
1
x
1

10.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.
2) IаI=1
cos t=1
t=2Пk
1
1
cos t=-1
t=П+2Пk
0
1
0
1
Частный
случай.
x

11.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.
1 2
3) а=0
t=П/2+Пk
1
0
1
x
2
Частный
случай.

12.

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.
4) IаI<1
Корни, симметричные
относительно Оx
могут быть записаны:
y
1
arccos а
1
а
x
arccos a 2Ïk
t
arccos a 2Ïk
или
t=±arccos a+2Пk
1
-arccos а
1
Общий
случай.

13.

Арктангенсом числа а
называют такое число
из интервала
(-П/2;П/2), тангенс
которого равен а
у
1
П/2
а
arctg a
х
0
-arctg a
-1
- П/2
arctg (-a)=-arctg a
-а

14.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение tg t=a.
a – любое число.
а
2
arctg a
t=arctg a+Пk.
0
x
04.08.2017
2
Частных
случаев
нет.
14

15.

Арккотангенсом числа а
называют такое число
из интервала (0;П),
котангенс которого -а
равен а
у
1
П-arcctg a
а
arcctg a
х
П
0
0
arcctg (-a)=П-arcсtg a

16.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение сtg t=a.
a – любое число.
t=arcctg a+Пk.
а
arcctg a
0
x
Частных
случаев
нет.
04.08.2017
16

17.

18.

3
sin 4x
0
2
Уравнение уже имеет простейший
3
вид t 4x
, однако можно
2
применить формулы приведения и
упростить его.
t
cos 4x 0
t
cos 4x 0
Это частный вид
уравнения cos t=a
a=0
4x k
2
Разделим обе части на 4.
О:
k
x
8 2

19.

cos 4x 0
Учащиеся делят обе части на 4
и получают следующее:
cos x 0
Грубая ошибка.

20.

2 cos 4x 1 0
Уравнение переносом слагаемого и
делением обеих частей легко сводится к
простейшему.
1
cos 4x
2
t
1
cos 4x
2
1
4x arccos
2 k
2
4x 2 k
4
Разделим обе части на 4.
k
x
16 2
О:
k
x
16 2

21.

cos 3x 0
3
Это частный вид
уравнения cos t=a
a=0
3x k
3
2
3x k
2 3
Уравнение уже имеет простейший
вид t 3x
3
3x k ( 3)
6
k
x
18 3
О:
k
x
18 3

22.

2
cos 2x
2
2
2
cos 2x
2
2
Уравнение уже имеет простейший
вид
можно использовать четность функции
cos, применить формулы приведения и
упростить его.
2
sin 2x
2
2
2x ( 1) arcsin
k
2
k
t 2x , однако,
2
2x ( 1) k
4
k
k
x ( 1)
8 2
2
k
О:
k
x ( 1)
8 2
k

23.

1
cos 5x cos x sin 5x sin x
3
3
2
Здесь уместно использовать формулу косинуса разности
аргументов:
Решение удобнее разбить на два.
1
cos 5x x
3
2
1
cos 4x
3 2
2 k
3
4x
3
2 k
3
Теперь уравнение
k
имеет простейший вид.
2
x
k
6 6
2 k
4x 2
2 k
3
4
k
2
О: x
k
6 6

24.

1 вариант
2 cos 4x 1 0
1
cos 3x
3
2
2 cos x 0
x
3ctg 3
4
2 вариант
2
cos 2x
2
2
3
sin 4x
0
2
cos( x) 1
x
3tg 1
2
1
1
sin 2x cos x cos 2x sin x cos 5x cos x sin 5x sin x
3
3
2
6
6
2