Свойства степенных рядов

1.

Пусть функция f(x) является суммой степенного
ряда, т.е.
f ( x) Cn x
n
n 0
Пусть интервал сходимости этого ряда (-R,R).
Тогда говорят, что функция f(x) разлагается в
степенной ряд на интервале (-R,R).

2.

1
На любом отрезке [a,b], целиком
принадлежащем интервалу сходимости (-R,R)
функция f(x) является непрерывной,
и, следовательно, степенной ряд можно
почленно интегрировать на этом отрезке:
b
b
f ( x)dx C
0
a
a
b
b
dx C1 xdx ... Cn x dx ...
n
a
a

3.

2
В интервале сходимости степенной ряд можно
почленно дифференцировать:
2
n 1
f ( x) C1 2C2 x 3C3 x ... nCn x ...

4.

Ряды,
полученные
в
результате
дифференцирования или интегрирования,
имеют тот же радиус сходимости R.