Дисперсия дискретной случайной величины

1. §7. Дисперсия дискретной случайной величины.

1.
Отклонение случайной величины.
Х Х Е ( Х )-отклонение с. в. Х от мат. ожидания.
2.
Определение дисперсии.
Дисперсией с. в. Х наз. число D(X)=E(X-E(X))2.
Формула для вычисления дисперсии: D(X)=E(X2) -E2(X)
Док-во.
а = Е(Х), D(X)=E(X-а)2 =Е(X2 -2аХ+а2)= E(X2)-2аЕ(Х)+а2 =
=E(X2)-2а2 +а2 = E(X2)-а2 = E(X2) -E2(X);
Пример.
3.
Свойства дисперсии.
1)
D(X)≥0;
2)
D(с)=0;
(*);

2. D(сХ)=с2 D(X);

3.
D(сХ)=с2 D(X);
D(сХ)=E(с2X2) - (E(сX))2 = с2E(X2) - (сE(X))2 =
=с2 (E(X2 )- E2(Х))=с2 D(X);
4. Если с.в. Х и У независимы, то D(X+У)= D(X)+ D(У);
Док-во
D(X+У)= E(X+У)2 - E2(X+У)= E(X2 +2ХУ+У2) –(E (X)+Е(У))2
=E(X2 ) +2Е(ХУ)+Е(У2) - E2 (X) -2Е(Х)Е(У)- E2(У) =
= E(X2 )- E2 (X)+Е(У2) )- E2(У) =D(X)+ D(У);
Следствие 1. Для попарно независимых с.в. Х1,Х2,…,Хк
k
k
l 1
l 1
D ( X l ) D ( X l ).
Следствие 2. Для любого числа с D(X+с)= D(X);
Следствие 3. Если с.в. Х и У независимы, то D(X-У)=D(X)+D (У);
D(X-У)= D(X+(-У))= D(X)+D(-У)= D(X)+(-1)2D(У) =D(X)+D (У).
Пример. С.в. X и Y- независимы, D(X)=2, D(У)=1. Найти дисперсию