Гармонические колебания и их характеристики

1.

15. Гармонические колебания и
их характеристики

2.

Колебаниями или колебательными движениями
называются движения или изменения состояния,
обладающие той или иной степенью повторяемости во
времени.

3.

Периодом колебания Т называется наименьший
промежуток
времени,
по
истечении
которого
повторяются значения всех величин, характеризующих
колебательное движение. За это время совершается
одно полное колебание.
f (t ) f (t T )
t
T
N

4.

Частотой
периодических
колебаний
называется число полных колебаний, которые
совершаются за единицу времени:
N 1
t T

5.

Циклической (круговой) частотой периодических
колебаний называется число полных колебаний,
которые совершаются за 2 секунд:
2
2
T

6.

Получить уравнение простейшего колебания можно,
установив
аналогию
между
вращательным
и
колебательным движением.
При вращении с постоянной
скоростью проекция вектора
на ось Х равна:
x A cos
t 0
Угол поворота определяет значение х в данный момент
времени и называется фазой колебания.

7.

В результате простейшее периодические колебаний
совершается по гармоническому закону:
x A cos( t 0 )

8.

Скорость при гармоническом колебании
x A sin( t 0 )
0 sin( t 0 )
0 A
– амплитуда скорости.

9.

Ускорение при гармоническом колебании
a x A cos( t 0 )
2
a 0 A
2
- амплитуда ускорения.

10.

0 0
x A cos( t 0 )
A sin( t 0 ) A cos( t 0 2)
a A 2 cos( t 0 )
Графическое изображение гармонических колебаний
посредством
вращающегося
вектора
амплитуды
называется методом векторных диаграмм.

11.

Графическое изображение гармонических колебаний
посредством
вращающегося
вектора
амплитуды
называется методом векторных диаграмм.

12.

Ускорение и координата при гармонических колебаниях в
любой момент времени связаны соотношением
a x
2
или
x x
2
x x 0
2
представляющим
собой
дифференциальное
уравнение гармонических колебаний. Решением
уравнения является гармоническая функция.

13.

Согласно формуле Эйлера
ei cos i sin
i 1
Уравнение гармонического колебания в комплексной
форме имеет вид
i t 0
~
x x0 e
Физический смысл имеет лишь действительная
часть, обозначаемая
~
Re x x0 cos t 0

14. 16. Квазиупругая сила. Период колебаний пружинного, математического и физического маятников.

15.

Пружинный маятник. Колебания груза массой m на
пружине жесткостью k совершаются под действием
силы упругости пружины
F kx
Ускорение телу сообщает сила упругости
kx ma
kx mx
k
x x 0
m
k
2
m
k
m
m
T 2
k

16. Тело совершает гармонические колебания в случае действия на него квазиупругой возвращающей силы. Для определения частоты необходимо уста

Тело совершает гармонические колебания в
случае действия на него квазиупругой
возвращающей силы.
Для определения частоты необходимо
установить квазиупругий характер
возвращающей силы, определить k.
k
квазиупруг ий фактор
m
масса системы

17.

Математический маятник представляет собой
материальную точку, подвешенную на невесомой
нерастяжимой нити и совершающую движение в
вертикальной плоскости под действием
силы
тяжести
W mgh
l l h x
2
2
2
2
x
h
2l
2
2
mgx
kx
W
2l
2

18.

mg
k
l
k
m
g
l
l
T 2
g
l – длина подвеса,
g – ускорение свободного падения.

19. Физический маятник представляет собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром

масс этого
тела,
или
неподвижной
оси,
перпендикулярной
направлению действия сил и не проходящей через центр
масс этого тела.

20. Колебания происходят под действием момента силы тяжести.

M I
M mgd sin
mgd sin I
sin
mgd I
mgd
I

21.

Для угла отклонения получаем дифференциальное
уравнение гармонических колебаний
mgd
0
I
mgd
I

22. l* - приведенная длина физического маятника

Период колебаний физического маятника
*
I
l
T 2
2
mgd
g
I
l
md
*
l* - приведенная длина физического маятника

23. 17. Превращение и изменение энергии в системе

24.

Превращение энергии рассмотрим на примере
пружинного маятника. Пусть колебания происходят по
закону
x A cos t
При гармонических колебаниях пружинного маятника
происходят превращения потенциальной энергии
упругой деформации
2
kx
U
2
в его кинетическую энергию и наоборот
m
E
2
2

25.

Полная
энергия
колебательной
определяется суммой энергий:
системы
m 2 kx2 m( A sin t ) 2 k ( A cos t ) 2
W
2
2
2
2
m 2 A2 sin 2 t m 2 A2 cos2 t m 2 A2
2
2
2
m A
W
2
2
2

26.

Колебание энергий происходит с удвоенной частотой
по сравнению с колебаниями координаты.

27. Колебания кинетической и потенциальной энергии в колебательной системе происходит с удвоенной частотой 2.

Колебания кинетической и потенциальной
энергии в колебательной системе происходит с
удвоенной частотой 2 .
m A
1
2
2
E
sin t E0 sin t W 1 cos 2 t
2
2
m 2 A2
1
2
2
U
cos t E0 cos t W 1 cos 2 t
2
2
2
2

28.

Превращения
энергии
при
колебаниях
пружинного
маятника
происходят
в
соответствии
с
законом
сохранения
механической
энергии.
Максимальные
значения энергий равны друг другу:
2
m 0
kA
2
2
2

29.

В любой момент сумма кинетической и
потенциальной энергии постоянна и равна
полной энергии.
2
m 0
m
kx
kA
2
2
2
2
2
2
2