351.50K
Category: physicsphysics

Кинематика твердого тела. Плоское движение. Определение ускорений точек

1.

КИНЕМАТИКА
Тема 3. Кинематика твердого тела
Плоское движение.
Определение ускорений точек.

2.

Определение ускорений точек плоской фигуры
Вывод. Ускорение любой точки М
плоской
фигуры
геометрически
складывается из ускорения какой нибудь другой точки А, принятой за
полюс, и ускорения, которое точка М
получает при вращении фигуры
вокруг этого полюса, то есть
аM
а
A
а
MA
.
аМ
аA
аМА
аA
А
М
(1)
Этот вывод основывается на положении о том, что плоское
движение раскладывается на поступательное движение
вместе с полюсом и вращательное движение вокруг полюса.

3.

Ускорение а MA может
быть разложено
и
n на
нормальное
касательное ускорения а MА а МA а MA τ .
Тогда (1) примет вид:
аM
n τ
а а
а
,
A
MA
МА
(2)
n
n
2
где аМА = · АМ и вектор аМA будет
направлен
к
полюсу
А,
а
а
= · МА и
МА
τ
вектор аМA будет направлен к отрезку
МА в сторону .
аМА
аМАn
аA
А
аA
М
Если полюс А движется по криволинейной траектории, то (2)
примет вид
аM
n τ n τ
а
а
а
а
.
A
А
MA
МА
(3)

4.

n τ n τ
Модули и направления ускорений: а A , а А , а MA , а МА
обычно удается определить, поэтому для нахождения
полного ускорения можно применять метод проекций.
Проектируя векторное равенство (3) на оси координат,
получим:
аМх = аАхn + аАх + аМАхn + аМАх ,
аМу= аАуn + аАх + аМАуn + аМАу ,
(4)
аМz = аАzn + аАz + аМАzn + аМАz .
Вычисляя правые части в выражениях (4) найдем проекции
вектора полного ускорения на оси координат, тогда его
модуль и направление определиться по формулам:
аМ
а
2
Мх
а 2Му а 2Мz
соs а Мx / | а М |, сos а Му / | а М |, cos а Мz / | а М | .

5.

Пример определения ускорений точек плоской фигуры
Центр С, движущегося в
вертикальной плоскости диска, имеет
уравнения движения хС = 2t (м) и
уС = - t 2 +1 (м). Закон вращения диска
вокруг оси, перпендикулярной к его
плоскости, = t 2/4 (рад). Радиус
диска R = 1 м.
у
1
= (t)
М
хС
C
уС
1
О
450
2
C
М
х
Определить ускорение точки М диска в момент времени t1=1 c.
Решение
1. Определим положение диска и точки М в момент времени t1.
Координаты точки С: хС1 = 2 · 1= 2; уС 1= - 12 +1 = 0. Положение
точки М определяется углом 1 = · 12/4 = /4 = 450.

6.

2. Выберем полюс и применим метод проекций.
Для определения ускорения точки М воспользуемся
формулой (2), принимая
вn качестве
τ полюса точку С. Тогда
получим а M аС а MС а МС .
Или в проекциях на оси координат
аМх = аСх + аМСхn + аМСх ,
аМу= аСу + аМСуn + аМСу .
(1)
3. Определим величины, входящие в правые части равенств (1).
аСх х С 0; аСу у С 2.
Величину аМСn найдем по формуле аМСn = 2 · СМ =
2
· СМ
= t 2/4|t=1= /4.
(2)

7.

а
n
Вектор МС будет направлен к
центру диска, то есть к точке С.
а
у
Проекции на оси вектора
МС
аМСхn =- аМСn · cos 450 = - 2 /8 = - 0,56,
аМСуn = - аМСn · cos 450 = - 0,56.
(3)
а
М
n
450
1
О
2
C
а
n
МС
МС
х
Величину аМС найдем по формуле аМС = ·СМ = · СМ = /2.
Вектор а
τ
будет направлен по касательной, т. е. отрезку СМ.
τ
Проекции на оси вектора а МС
аМСх = аМС · cos 450 = · 2 / 4 = 1,11,
(4)
0
аМСу = - аМС · cos 45 = - 1,11.
МС
Подставляя значения (2) – (4) в выражения (1), получим
аМх = 0 – 0,56 + 1,11 = 0,55,
аМу= - 2 - 0,56 - 1,11 = - 3,67.
τ

8.

Модуль и направление вектора ускорения точки М определим
по формулам:
| a M | а Мx 2 а2Му 0 ,55 2 ( 3,67 )2 3,71 м / с 2 .
cos ( ) = аМх / |аМ| = 0,55 / 3,71 = 0,15.
= аrccos (0,15) = 1,42 рад. 810.
Изобразим вектор ускорения на рисунке
у
М
а
Мх
810
450
1
О
2
C
а
Му
а
М
х
English     Русский Rules