лекция 5

1.

Ставропольский государственный
аграрный университет
ЛЕКЦИЯ 5
МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В RC-ЦЕПИ ПРИ
ПОДКЛЮЧЕНИИ ЕЕ К
ИСТОЧНИКУ ПОСТОЯННОЙ И
ПЕРЕМЕННОЙ ЭДС
1

2.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Рассмотрим переходные процессы в цепи с
последовательным соединением резистора R и
емкости C.
По второму закону Кирхгофа для этой цепи получим:
Ri + uC = u.
Ток в емкости можно представить в виде:
i = CduC/dt.
2

3.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Отсюда, путем не сложных математических
преобразований получим:
Решение этого дифференциального уравнения для
напряжения на емкости также можно представить
суммой свободной и установившейся составляющих:
uC = u у + uс.
3

4.

Свободную составляющую найдем из решения
однородного уравнения (u = 0) в виде:
uс = Uept.
Подставим это выражение в уравнение и найдем
значение p:
4

5.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Выражение:
RCp + 1 = 0
представляет собой характеристическое уравнение,
которое могло быть получено без подстановки
общего выражения для свободной составляющей
формальной
заменой
в
однородном
дифференциальном уравнении производных от
напряжения на емкости на pk,
где k - порядок производной.
5

6.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Отсюда общее решение для напряжения на емкости:
uC = uу + uс= uу + Ue- t/τ ,
где U - постоянная интегрирования, определяемая
из начальных значений;
τ = 1/|p| = RC - постоянная времени переходного
процесса.
6

7.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Рассмотрим процесс подключения последовательной R-C цепи к
источнику постоянной ЭДС E (рис. 1 а)).
В отличие от индуктивности, емкость после накопления
заряда может длительное время сохранять его. Поэтому
начальное значение напряжения на емкости U0 может
быть произвольным и иметь произвольный знак по
7
отношению к ЭДС источника.

8.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Установившееся значение напряжения на емкости после замыкания
ключа S всегда будет равно E, т.к. на постоянном токе в установившемся
режиме:
duC/dt = 0 и i = CduC/dt = 0,
а uC = u - Ri = E - Ri= E.
Поэтому из выражения:
uC = uу + uс= uу + Ue- t/τ
(1),
напряжение на емкости в общем виде будет равно:
uC = uу + uс= E + Ue- t/t .
(2)
8

9.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Пусть напряжение на емкости до коммутации было uC(0- ) = ± U0 (знак +
соответствует полярности напряжения на рис. 1 а) без скобок). Тогда из
(2) для момента времени непосредственно после замыкания ключа
найдем постоянную U:
9

10.

Ставропольский государственный
аграрный университет
а затем и выражение для напряжения на емкости в виде:
где τ= RC - постоянная времени переходного процесса.
Отсюда можно найти ток в цепи и падение напряжения на резисторе:
10

11.

Ставропольский государственный
аграрный университет
На рис. 1 б)-г) приведены временные диаграммы переходного
процесса подключения R-C цепи к источнику постоянной ЭДС для трех
вариантов начальных значений напряжения на емкости:
1) E > U0 > 0 ;
2) E < U0 и U0 > 0;
3) U0 < 0
11

12.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Временные диаграммы переходного процесса подключения R-C цепи
12
к источнику постоянной ЭДС

13.

Ставропольский государственный
аграрный университет
Во всех случаях напряжение на емкости монотонно
по экспоненте изменяется отU0 до E. В то время как
ток и напряжение на резисторе в момент
коммутации скачкообразно изменяются на
величину пропорциональную разности или
сумме E и U0, а затем монотонно уменьшаются до
нуля. При этом, если E < U0, то ток и падение
напряжения на R отрицательны, т.е. происходит
разряд емкости.
13