Электротехника. Переходные процессы

1. Электротехника Переходные процессы

Воршевский Александр Алексеевич
Зав. кафедрой Э и ЭОС

2. Переходные процессы Переход от одного энергетического состояния цепи к другому. Обусловлен элементами, накапливающими энергию.

Причина – коммутация, изменение
параметров цепи.
Коммутация – включение и
выключение цепи или ее части.

3.

Основные элементы
Резистор i=u/R
Преобразование ЭЭ в другие виды
энергии. Не накапливает энергию.
Конденсатор i=Cdu/dt
Накопление ЭЭ в виде ЭП, С=q/U
WC=CU2/2
Катушка индуктивности
u=Ldi/dt
Накопление ЭЭ в виде МП, L=Ф/I
WL=LI2/2

4.

ЭНЕРГИЯ МГНОВЕННО НЕ МЕНЯЕТСЯ
Резистор i=u/R
Преобразование ЭЭ в другие виды
энергии. Не накапливает энергию.
Конденсатор i=Cdu/dt
Накопление ЭЭ в виде ЭП, С=q/U
WC=CU2/2
Катушка индуктивности
u=Ldi/dt
Накопление ЭЭ в виде МП, L=Ф/I
WL=LI2/2

5.

ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ
Резистор i=u/R
Преобразование ЭЭ в другие виды
энергии. Не накапливает энергию.
Конденсатор i=Cdu/dt,
q=CU, WC=CU2/2
WC(0+)=WC(0-)
Катушка индуктивности
u=Ldi/dt, Ф=LI, WL=LI2/2
WL(0+)=WL(0-)

6.

ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ
Резистор i=u/R
Преобразование ЭЭ в другие виды
энергии. Не накапливает энергию.
Конденсатор i=Cdu/dt,
q=CU, WC=CU2/2
qC(0+)=qC(0-)
uC(0+)=uC(0-) при С=const
Катушка индуктивности
u=Ldi/dt, Ф=LI, WL=LI2/2
ФL(0+)=ФL(0-)
iL(0+)=iL(0-) при L=const

7.

ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ
.
qC(0+)=qC(0-)
uC(0+)=uC(0-) при С=const
ФL(0+)=ФL(0-)
iL(0+)=iL(0-) при L=const

8.

Установившиеся значения тока и
напряжения в цепи постоянного
тока .
iC(t→∞)=0
uL(t→∞)=0

9.

Коммутация
Мгновенное изменение схемы,
соединения или параметров элементов
электрической цепи называется
коммутацией.

10.

Коммутация
Нормально разомкнутый, замкнутый ключи и переключатель
Идеальный ключ это
элемент электрической цепи, который
может находиться в двух состояниях –
нулевого и бесконечно большого
активного сопротивления, и мгновенно
менять своё состояние в заданный момент
времени.

11.

Коммутация
Отсчёт времени производят
от момента коммутации t=0.
Момент непосредственно до коммутации t =0Момент времени сразу после коммутации t=0+

12.

Использование начальных и
установившихся значений для прогноза
Находят uC(t<0), iL(t<0), т.е. до коммутации
Полагают uC(0)=uC(t<0), iL(0)=iL(t<0)
Используя законы Ома,Кирхгофа находят значения
всех токов и напряжений для t=0
Полагают в цепи постоянного тока
iC(t→∞)=0, uL(t→∞)=0
Используя законы Ома,Кирхгофа находят значения
всех токов и напряжений для t→∞
Значения позволяют прогнозировать вид графиков
до решения дифференциальных уравнений,
позволяют проверить правильность решения

13.

Пример использование начальных и
установившихся значений для прогноза
Находят uC(t<0)=0, iL(t<0)=0,
ключ при этом еще разомкнут.
По закону коммутации uC(0)=0, iL(0)=0.
В момент t=0 ключ S уже замкнут
1 Закон Кирхгофа iR1=iC+iL
2 Закон Кирхгофа uR1+uC=U
2 Закон Кирхгофа катушки и резистора R2 uL+uR2= uC
Законы Ома uR1=iR1R1, uR2=iLR2
При t=0 по закону коммутации uC(0-)=uC(0+)=0, iL(0-)=iL(0+)=0.
Тогда из уравнения uR1+uC=U и условия uC(0)=0 следует uR1=U и из закона Ома
iR1= uR1/R1=U/R1. То есть уже нашли uR1=U и iR1=U/R1.
Из условия iL(0+)=0 и закона Ома uR2=iLR2 следует, что uR2=0*R1=0.
Если напряжение uC(0+)=0, то не трудно из уравнения uL+uR2= uC определить, что
напряжение на катушке равно нулю uL = uC-uR2=0-0=0.

14.

Пример использование начальных и
установившихся значений для прогноза
В установившемся режиме при t→∞
имеем iC(t→∞)=0, uL(t→∞)=0
1 Закон Кирхгофа iR1=iC+iL
2 Закон Кирхгофа uR1+uC=U
2 Закон Кирхгофа катушки и резистора R2 uL+uR2= uC
Законы Ома uR1=iR1R1, uR2=iLR2
Сразу пишем iC=0, uL=0
Из условия uL=0 и уравнения uL+uR2= uC следует, что uR2= uC.
Подставляя это равенство в uR1+uC=U, имеем uR1+uR2=U.
Из уравнения iR1=iC+iL следует, что iR1=iL.
По закону Ома iR1R1+ iR1R2=U.
Откуда iR1= iL=U/(R1+R2). uR1=iR1R1, uR2=iR1R2.

15.

Алгоритм расчета переходного
процесса
1. Найти токи iL(0−) в индуктивностях и напряжения
uC(0−) на емкостях до коммутации. Положить в
соответствии с законами коммутации iL(0)=iL(0−), uC(0)=uC(0−)
2. Составить дифференциальное уравнение цепи (или
систему дифференциальных уравнений) после коммутации с
учетом переменной, которая выбрана в качестве искомой
величины. При этом использовать законы Ома, Кирхгофа и
соотношения iС=CduС/dt, uL=LdiL/dt
3. Преобразовать систему уравнений в одно уравнение
относительно неизвестной величины. Для конденсатора
удобно выбрать напряжение uС, для катушки – ток iL
4.
Решить дифференциальное уравнение с учетом
начальных условий, т.е. найти функцию, описывающую
изменение величины во времени.

16.

Решение классическим способом
1. Для заданной цепи до коммутации найти токи iL(0−) в индуктивностях и
напряжения uC(0−) на емкостях, т.е. независимые начальные условия на момент
коммутации (t = 0).
2. Составить дифференциальное уравнение цепи (или систему
дифференциальных уравнений) после коммутации с учетом переменной, которая
выбрана в качестве искомой величины.
3. Записать характеристическое уравнение и найти его корни.
4. Вычислить токи ветвей и напряжения на элементах цепи в
установившемся режиме.
5. Записать решения для свободных составляющих.
6. Составить уравнение (или систему уравнений) для нахождения
постоянных интегрирования.
7. Определить начальные условия для свободной составляющей искомой
величины.
8. Вычислить постоянные интегрирования.
9. Записать окончательное решение в виде суммы установившейся и
свободной составляющих

17.

Другие методы решения
дифференциальных уравнений
Операторный метод решения
Операторы по Карсону или Лапласу
Применение численных методов,
используя, например, Mathcad

18.

Подсказки для проверки
правильности решения
1. Сравнение рассчитанных ранее начальных и установившихся значений
величины со значениями полученного выражения при условии t=0 и t→∞
2. Сравнение полученного выражения для постоянной времени τ с
выражениями, определяемыми для простейших случаев следующим
образом:
Для цепи, состоящей из одного конденсатора и резисторов, τ=СRЭ, где RЭ
определяется соединением резисторов по отношению к конденсатору при
закороченном источнике питания.
Для цепи, состоящей из одной катушки индуктивности и резисторов, τ=L/RЭ,
где RЭ определяется соединением резисторов по отношению к катушке
индуктивности при закороченном источнике питания.

19.

Включение RL на постоянное
напряжение
До момента замыкания ключа ток в катушке индуктивности равен нулю
iL(0-)=0. Тогда по закону коммутации iL(0)=0.
После замыкания ключа

20.

Включение RL на постоянное
напряжение

21.

Включение RL на постоянное
напряжение

22.

Включение RL на постоянное
напряжение
Постоянная времени τ – это время в течение которого функция меняется в
е=2,72 раз. В момент t=τ экспоненциальная функция составляет 36,8% от
начального значения. Теоретически процесс длится неограниченно долго.
За длительность переходного процесса принимают условно 3τ.
Через 3τ, 4τ, 5τ значение величины составляет 5%, 2%, 0,67% от исходного.

23.

Включение RL на постоянное
напряжение

24.

Включение RL на постоянное
напряжение

25.

Включение RL

26.

Выключение RL

27.

Выключение RL
ЭДС и напряжение на катушке индуктивности может значительно превышать
напряжение питания: E=12 В, R=12 Ом, L=0,5 Гн, r=1000 Ом.
Тогда ток I=E/R=12/12=1 А, ULmax=(R+r)I=(12+1000)*1=1012 В, τ=L/(R+r)=0,5 мс

28.

Выключение RL
ЭДС и напряжение на катушке индуктивности может значительно превышать
напряжение питания: E=12 В, R=12 Ом, L=0,5 Гн, r=10000 Ом.
Тогда ток I=E/R=12/12=1 А, Uк.max=rI=10000*1=10000 В, τ=L/(R+r)=0,05 мс

29.

Снижение напряжения при отключении
U=I L/(C+Cк)1/2
Uк.м=I*r
После размыкания контактов ток продолжает протекать
через rC или r, снижая скорость изменения тока и
напряжение на катушке.

30.

Периодическая коммутация цепи
Если включение и выключение происходит периодически, то ток может не
успеть снизится до нуля и переходный процесс начнется при ненулевом токе.

31.

Включение RС на постоянное
напряжение
До момента замыкания ключа S напряжение на
конденсаторе uC(0)=uC(t<0)=Uo
После замыкания ключа

32.

Включение RС на постоянное
напряжение

33.

Включение RС на постоянное
напряжение
В момент включения ток может
достигать больших значений
I=(E-Uo)/R
Нельзя включать при R=0.

34.

Включение RС на постоянное
напряжение

35.

Отключение RС

36.

Периодическая коммутация RС
Если включение и выключение происходит периодически, то
напряжение на конденсаторе может не успеть снизится до нуля и
следующий переходный процесс начнется при ненулевом напряжении.

37.

Разряд конденсатора на RL

38.

Разряд конденсатора на RL

39.

Разряд конденсатора на RL

40.

Разряд конденсатора на RL

41.

Апериодический разряд конденсатора

42.

Колебательный разряд конденсатора

43.

Колебательный разряд конденсатора

44.

Колебательный разряд конденсатора

45.

Колебательный разряд конденсатора

46.

Включение RL на переменное
напряжение
До момента замыкания ключа ток в катушке индуктивности равен нулю
i(0-)=0. Тогда по закону коммутации i(0)=0.
После замыкания ключа

47.

Включение RL на постоянное
напряжение

48.

Включение RL на переменное
напряжение

49.

Включение RL на переменное
напряжение

50.

Включение RL на переменное
напряжение

51.

Включение RС на переменное
напряжение
До момента замыкания ключа S напряжение на
конденсаторе uC(0)=uC(t<0)=Uo
После замыкания ключа

52.

Включение RС на переменное
напряжение
В установившемся режиме (t → ∞) напряжение на обкладках
конденсатора найдем из соотношения :
E
1
u'C m sin(ωt ψ ) u'C U C sin(ωt ψ )
m
Z ωC
2
2
где
1
Z R2
ωC
arctg (
- полное сопротивление цепи;
1
)
RωC
u" 0 UCm sin( ψ ) u" U Cm sin( ψ )
C
C
2
2
U Cm sin(ψ
2
- угол сдвига фаз напряжения и тока.
1
) A
u" U Cm sin(ψ )e RC
C
2
2
'
"
uC uC uC
1
t
RC
uC U Cm (sin(ωt ψ ) sin(ψ )e
) B.
2
2
1
d
t
i C uC i I m (cos sin(ωt ψ ) sin sin(ψ )e RC )
dt
2

53.

Включение RС на переменное
напряжение
1
ωC
Z R2
2
Если в момент коммутации установившееся напряжение
равно нулю, т.е. когда ψ
2
то в цепи сразу наступает установившийся режим
без переходного процесса.
Наибольшего значения напряжение uC достигает
в том случае, когда в момент коммутации
амплитуда
'
u
установившегося напряжения C
.
максимальна, т.е. когда ψ 0
arctg (
u'C
1
)
RωC