Лекция 5. Уравнения прямой на плоскости

1. Аналитическая геометрия на плоскости

2. Прямоугольная система координат

Определение:
Прямоугольной
(декартовой)
системой координат на плоскости называется две
взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие
общее начало О и одинаковую масштабную единицу.
Ох называется осью абсцисс, Оу – осью ординат.
Из произвольной точки М опустим перпендикуляры
на оси Ох и Оу.

3.

Число х называется абсциссой, у – ординатой
точки М. Упорядоченная пара (х; у) называется
координатами точки М.
Каждой точке на плоскости в прямоугольной
системе координат соответствует единственная пара
действительных чисел (х; у).
Метод определения положения точек на
плоскости с помощью чисел называется методом
координат.

4. Уравнение прямой на плоскости

5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Определение:
Углом
наклона
прямой,
образованным с положительным направлением оси
Ох называется наименьший угол α, на который нужно
повернуть положительное направление оси Ох против
хода часовой стрелки для совмещения ее с прямой.
Определение: Угловым коэффициентом прямой
называется тангенс угла наклона прямой: k = tg . (1)
Если = 0, то прямая параллельна оси Ох и k = 0.
Если = , то прямая перпендикулярна оси Ох и
2
говорят, что угловой коэффициент обращается в ∞ .

6.

(2)
y = kx + b
(2) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.
При k 0 прямая образует с осью Ох острый угол,
при k 0 – тупой, при k = 0 прямая параллельна оси
Ох.
При b 0 прямая пересекает ось Оу выше начала
координат , при b 0 – ниже, при b = 0 проходит
через начало координат.

7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении

Выведем уравнение прямой, если ее положение
определяется данной точкой М1(х1; у1) и заданным
угловым коэффициентом k = tg .
Запишем уравнение прямой в виде y = kx + b , где b
– неизвестное число.
Так как прямая проходит через точку М1(х1; у1), то
ее координаты удовлетворяют уравнению: y1 = kx1 + b.
Отсюда b = y1 − kx1 ,
подставляя в уравнение
получим: y = kx + y1 − kx1 или y − y1 = k ( x − x1 ) (3)

8.

(3) – уравнение прямой, проходящей через данную
точку в заданном направлении.
Изменяя угловой коэффициент k (направление
прямой), через данную точку М1(х1; у1) можно
провести множество прямых. Поэтому уравнение (3)
называют уравнением пучка прямых.

9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть положение прямой определяется двумя
данными точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2).

10.

y − y1
x − x1
=
y2 − y1 x2 − x1
(4)
(4) – уравнение прямой проходящей через две
данные точки.
Если х1=х2 , то уравнение прямой имеет вид: х=х1,
и прямая параллельна оси Оу.
Если у1=у2 , то уравнение прямой имеет вид: у=у1,
и прямая параллельна оси Ох.

11. Общее уравнение прямой

Теорема: В прямоугольной системе координат
любая прямая задается уравнением первой степени:
Ax + By + C = 0
(5)
где А и В одновременно не обращаются в ноль.
(5) называют общим уравнением прямой, так как
данное уравнение охватывает все случае положения
прямой на плоскости.
Из него можно получить другие уравнения
прямой.

12. Уравнение прямой «в отрезках»

Рассмотрим общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0,
при условии, что все коэффициенты отличны от
нуля.
Преобразуем его, для этого свободное слагаемое
перенесем в правую часть и поделим левую и
правую часть на –С :
Ax + By = −C ,
A
B
1
1
x+
y =1
x+
y = 1.
−C
−C
С
С
−
−
А
В

13.

C
C
Введем обозначение: a = − , b = − .
A
B
Тогда уравнение прямой примет вид:
x y
+ =1
a b
(6)
(6) – уравнение прямой «в отрезках».
Замечание: в виде уравнения (6) не могут быть
записаны уравнение прямой, проходящей через
начало
координат
и
уравнения
прямых,
параллельных осям координат.

14. Угол между двумя прямыми

Пусть заданы прямые L1 и L2 уравнениями:
y = k1 x + b1 и y = k2 x + b2 , где k1 = tg 1 , k2 = tg 2 .
При пересечении двух прямых L1 и L2 на
плоскости образуются четыре угла, которые попарно
равны между собой как вертикальные углы.

15.

Определим угол между прямыми: = 2 − 1.
tg 2 − tg 1
Тогда tg = tg ( 2 − 1 ) =
1 + tg 1tg 2
Так как tg 1 = k1 , tg 2 = ,kто
отсюда следует, что
2
(7)
k2 − k1
tg =
1 + k1k2
(7) – определяет один из углов между двумя
прямыми.
Второй угол равен π –φ.

16. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Если прямые L1 и L2 параллельны, то = 0 и
k2 − k1
tg = 0, то есть
=0
или k 2 = k1 (8)
1 + k1k2
(8) – условие параллельности двух прямых.

17. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Если прямые L1 и L2 перпендикулярны, то = ,
2
то есть 2 = + 1
2
1
tg 2 = tg + 1 = −ctg 1 = −
tg 1
2
1
k2 = −
k1
(9)
(9) – условие перпендикулярности двух прямых.

18. Расстояние от точки до прямой

Пусть на плоскости Оху задана прямая L общим
уравнением Ax + By + C = 0.
Требуется найти расстояние от точки М0(х0; у0) до
прямой L. Под расстоянием от точки до прямой
понимают длину перпендикуляра, опускаемого из
точки на прямую.
d = M0N =
Ax0 + By0 + C
A2 + B 2
(10)
(10) – формула расстояния от точки М0 до прямой L.