Алгебраические функц (1)

1.

Показательная
функция
Конспект лекции

2.

Определение показательной
функции
Показательной функцией называется
х
функция у = а , где а – заданное
число, а>0,
a ≠ 1.
Примеры:

3.

Её график:

4.

Показательная функция

5.

Свойства показательной
функции
ООФ –
МЗФ –
Монотонность – монотонно ↑ на всей ООФ
Четность – общего вида
Асимптоты – ось Ox
Экстремумы – нет
Наибольшее/наименьшее значение – нет
Не периодична

6.

Свойства показательной
функции у = а ,х а>1
У
а >1
Область определения функции:
все действительные числа.
Множество значений функции:
все положительные числа.
Функция – возрастающая.
Функция не является ни четной,
ни нечетной.
1
0
Х
1

7.

График показательной
х
функции у = а , а>1
Построим график
показательной функции
У
а =2
а =4
В этой же системе
координат построим
графики функций
а
=1,5
1
0
Х
1

8.

Показательная функция

9.

Свойства показательной
функции
ООФ –
МЗФ –
Монотонность – монотонно ↓ на всей ООФ
Четность – общего вида
Асимптоты – ось Ox
Экстремумы – нет
Наибольшее/наименьшее значение – нет
Не периодична

10.

График показательной
х
функции у = а , 0<a<1
Построим график
показательной функции
В этой же системе
координат построим
графики функций
1
а=2
У
а =0,25
2
а= 3
1
01
Х

11.

Свойства показательной
функции у = а ,х 0<a<1
У
Область определения функции:
все действительные числа.
0<а <1
Множество значений функции:
все положительные числа.
Функция – убывающая.
Функция не является ни четной,
ни нечетной.
1
0
Х
1

12.

Приведём примеры, где мы сталкиваемся с
показательной функцией в повседневной
жизни , а также, как она применяется на
практике.
Напомним вид показательной
x
функции: y=a , где а›0,
а ≠ 1 , х€R.
x
Показательная функция y=a
встречается в самых различных
областях науки – в физике,
химии, биологии, экономике.

13.

Показательная функция в жизни
1. Рост древесины происходит по
закону:
, где
А - изменение количества
древесины во времени;
A0 - начальное количество
древесины;
t – время;
k, a – некоторые постоянные.

14.

2. Давление воздуха убывает с высотой по
закону:
, где
Р – давление на высоте h;
P 0 - давление на уровне моря;
a – некоторые постоянные.
2026/10/25

15.

3. Рост количества бактерий
происходит по
закону:
t
N=5
, где
N – число колоний бактерий в
момент времени t;
t – время размножения.
2026/10/25

16.

4. Количество
радиоактивного
вещества, оставшегося к
моменту t, описывается
формулой:
, где
N0 - первоначальное
количество вещества;
2026/10/25
Т½ - период полураспада.

17.

Опишем более полно одно из важнейших физических явлений, которое связано
с показательной функцией в жизни , - радиоактивный распад.
После открытия радиоактивности в опытах Беккереля и супругов Кюри возник
вопрос, по какому закону происходит распад атомов. Оказалось, что количество
распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально
имевшемуся количеству вещества. Иными словами, за данный промежуток времени
всегда распадается одна и та же доля наличного запаса атомов.
Физики назвали промежуток времени, в течение которого распадается половина
тех имеющихся атомов, периодом полураспада данного вещества. Этот период
различен для разных веществ: для урана – 238 он равен 4,5 млрд. лет, для радия –
-4
1620 лет, а для полония – 84 период полураспада равен всего 1,5· 10 сек.
Если период полураспада данного вещества равен Т, то через промежуток времени
n
пТ остается (½) - я доля этого вещества. Иными словами, если в начале количество
t/T
вещества равнялось М, то через промежуток времени t=пТ его останется m=M (½) .
Из этой формулы вытекает, что за 1 620 000 лет, т.е. за тысячу периодов полураспада радия, его
1000
300
количество уменьшается в 2
раз, т.е. более чем в 10 раз. Если бы даже вся наша Галактика
300
Состояла из атомов радия, то их число все равно было бы неизмеримо меньше, чем 10 ,
и потому за 1 620 000 лет весь радий распался бы. Не следует делать из сказанного вывод, что Галактика
существует меньше полутора миллионов лет – время ее существования исчисляется миллиардами лет.
Дело в том, что радий все время появляется в ходе распада урана – 238, а за все время существования
Земли количество урана уменьшилось всего в два раза.

18.

5. Площадь сечения троса связана с
сопротивлением разрыва также по
показательному закону.
Сейчас многие бороздят исследовательские корабли. В заранее
установленных местах они останавливаются и спускают за борт трос,
на конце которого находятся приборы. Их спускают на дно, а потом
поднимают наверх и записывают показания. Но иногда происходит
печальное событие – трос разрывается, и все ценные приборы
оказываются погребенными на дне моря.
Казалось бы, этой беды можно было бы избежать, сделав трос
потолще. Но тут возникает новое осложнение – верхние части троса
должны удерживать не только спускаемые приборы, но и нижнюю
часть самого троса, потому что при утолщении всего троса на верхнюю
часть ляжет слишком большая нагрузка.
Поэтому целесообразно делать нижнюю часть троса тоньше, чем
верхнюю. Возникает вопрос: как должна меняться толщина троса для
2
того, чтобы в любом его сечении на 1 см приходилась одна и та же
нагрузка?
2026/10/25

19.

Исследование этого вопроса
показало, что площадь сечения
троса должна изменяться по
следующему закону:
, где
S 0 - площадь его нижнего сечения;
S – площадь сечения на высоте х от нижнего сечения»
У – удельный вес материала, из которого сделан трос;
Р – вес в воде опускаемого груза.
Такой трос называют тросом равного сопротивления
разрыва. Он имеет меньшую массу, чем трос постоянного
сечения, рассчитанный на такую же нагрузку.

20.

6. Процесс изменения температуры чайника при
кипении выражается формулой:
Т=Т0 + (100-Т0)е
-kt
.
Это также пример процесса
выравнивания, который в физике
можно наблюдать при включении
и выключении электрических
цепей и при падении тела
с парашютом.
2026/10/25

21.

7. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой
среды поглощает строго определенную часть падающего на него
-ks
света. Сила света l определяется по формуле:
0
, где
l=l e
S – толщина слоя;
K – коэффициент,
Характеризующий
мутную среду.
2026/10/25

22.

• Применение показательной функции в жизни,
и технике.
Еслинауке
снять кипящий
чайник с огня, то сначала он быстро
остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее, это
-kt
явление описывается формулой T=(T1-T0)e +T 1

23.

При падении тел в
безвоздушном пространстве
скорость их непрерывно
возрастает. При падении тел в
воздухе скорость падения
тоже увеличивается, но не
может превзойти
определенной величины. Если
считать, что сила
сопротивления воздуха
пропорциональна скорости
падения парашютиста, т.е. что
F=kv , то через t секунд
скорость падения будет равна:
-kt/m
v=mg/k(1-e ), где m - масса
парашютиста.

24.

Много трудных математических
задач приходится решать в теории
межпланетных путешествий .
Одной из них является задача об
определении массы топлива,
необходимого для того, чтобы
придать ракете нужную скорость v.
Эта масса М зависит от массы m
самой ракеты (без топлива) и от
скорости v 0, с которой продукты
горения вытекают из ракетного
двигателя. Если не учитывать
сопротивление воздуха и
притяжение Земли, то масса
топлива определиться формулой:
v/v0
M=m(e -1) (формула
К.Э.Циалковского). Например, для
того чтобы ракете с массой 1,5 т
придать скорость 8000 м/с, надо
при скорости истечения газов 2000
м/с взять примерно 80 т топлива.

25.

Если при колебаниях
маятника, гири,
качающейся на пружине,
не пренебрегать
сопротивлением воздуха,
то амплитуда колебаний
становится все меньше,
колебания затухают. Это
явление можно
объяснить формулой:
-kt
s=Ae sin(ωt+ω).

26.

Рост народонаселения.
Изменение
числа людей в стране на
небольшом
отрезке времени описывается
формулой
, где N0 число
людей в момент времени t=0,
N -число людей в момент
времени t, a-константа.

27.

Закон органического размножения: при
благоприятных условиях (отсутствие
врагов, большое количество пищи)
живые организмы размножались бы по
закону показательной функции.
Например: одна комнатная муха может за
14
лето произвести 8 10 особей
потомства. Их вес составил бы несколько
миллионов тонн (а вес потомство пары
мух превысил бы вес нашей планеты), они бы
заняли
огромное
пространство, а если
По такому
же принципу
распространились
завезённые
в будет
выстроить
их в цепочку,
то её длинна
Австралию
кролики, которые
больше,
чем расстояние
от Земли до Солнца.
стали
экологической
катастрофой
Но
так как,
кроме мух существует
множество
для этого уникального региона.
других животных и растений, многие из
Рост различных видов
которых
являются естественными
микроорганизмов
и бактерий, врагами мух
их
количество
не достигает
дрожжей,
ферментов
все вышеуказанных
эти
значений.
процессы подчиняются одному
закону: N = N 0 e
kt

28.

Когда радиоактивное вещество
распадается, его количество уменьшается,
через некоторое время остается половина
от первоначального вещества. Этот
промежуток времени t0 называется
периодом полураспада. Общая формула
- t/t
для этого процесса: m = m0(1/2) 0 , где m0
- первоначальная масса вещества. Чем
больше период полураспада, тем
медленнее распадается вещество. Это
явление используют для определения
возраста археологических находок. Радий,
например, распадается по закону:
- kt
M = M 0e . Используя данную формулу
ученые рассчитали возраст Земли (радий
распадается примерно за время, равное
возрасту Земли).

29.

Исследуя расположение планет солнечной системы вокруг Солнца, немецкий
астроном
И.Э. Боде в 1772 составил следующую таблицу:
№
Планета
Расстояние (L) до
солнца (в
астрономических
единицах)
1
Меркурий
0,4
2
Венера
0,7
3
Земля
1
4
Марс
1,5
6
Юпитер
5,2
7
Сатурн
9,5
5
К тому времени было открыто только шесть планет,
поэтому все вычисления останавливаются на Сатурне.
Эти вычисления произвел И.Э. по следующей формуле:
Данная формула особенно точна для Венеры, Земли и Юпитера.

30.

Как известно, между Марсом и Юпитером планеты не существует, но если
следовать таблице Боде, на данной орбите должно находиться какое- либо
космическое тело. И действительно, после некоторых исследований учёными
был открыт пояс астероидов.
Это было воистину торжеством науки и триумфом математики!