Lek_4_TPS

1. Тема 3. Основы общей теории детерминированных сигналов.

Лекция №4
Тема 3. Основы общей теории
детерминированных сигналов.

2. Вопрос 1. Геометрические методы в теории сигналов

3.

Фундаментальные проблемы обработки сигналов:
Аналитический расчет параметров выходного сигнала
радиотехнической цепи при сколь угодно сложном
входном сигнале
2) Разрешение сигналов (одновременная обработка двух
и более сигналов в одном канале связи с их
различением и исключением их взаимного влияния);
3) Обнаружение информационных параметров сигналов
на фоне помех (помехоустойчивость, различение
сигналов на фоне помех);
1)

4.

Линейное пространство сигналов
1. На сколько один сигнал больше
или меньше другого
2. Насколько два разных сигнала
отличаются (разрешаются) друг
относительно друга.

5.

Аксиомы линейного пространства сигналов
Свойства линейного пространства
Линейность расстояний:
r (X, X) = 0;
(1)
r (X, Y) = r (Y, X);
(2) r (X, Y) r (X, Z) + r (Z, Y);
(3)
Линейность преобразований:
si (t ) = Q s j (t );
(4) Q( s1 + s2 ) = Q( s1 ) + Q( s2 );
(5) Q( si ) = Q( si ) ;
(6)

6.

Геометрическая интерпретация ортогональных сигналов

7.

8.

Характеристики сигналов в линейном пространстве
Норма (амплитуда) и энергия сигнала
ra = a a = a =
n
x ;
2
k
k =1
AС ,1 = s1 s1 = s1 =
(7 )
TС
2
s
1
(t )dt ;
(8)
0
EС ,1 = s1
TС
n
1
= s (t )dt =
sk2
2 FMAX k =1
0
2
2
1
(9)
Взаимные проекции векторов друг на друга (взаимное влияние сигналов)
r (a, b) =
n
(x − y ) ;
k =1
r (s1 , s 2 ) =
2
k
k
TС
n
TС
TС
k =1
s (t ) − s (t ) dt ;
2
k
k =1
0
TC
s (t ) s (t )dt
1
2
0
TC
TC
s (t )dt s (t )dt
2
1
0
2
k
k =1
TС
r 2 (s1 , s 2 ) = s12 (t )dt + s22 (t )dt − 2 s1 (t ) s2 (t )dt
2
0
(s , s )
cos = 1 2 =
s1 s 2
n
(10)
2
1
n
r (a, b) = x + y − 2 xk yk ;
2
2
2
0
; (12)
0
0
(11)

9. Вопрос 2. Ортогональные сигналы

10.

Определение и базис ортогональных сигналов
Методы кусочной аппроксимации для динамического
описания сигналов и процессов прохождения
сигналов через различные цепи не решают в полном
объеме для сигналов сложной формы .
Для этой цело более продуктивно использование
описания сигналов посредством спектральной
теории, в которой сигналы представляются суммой
ортогональных
функций
в
пространстве
Гилберта.
Такое
представление
называется
обобщенным
спектральным
разложением
сигнала и является принципиально важным
инструментом для расчета отклика радиотехнических
цепей на воздействие реальных сигналов сложной
формы.

11.

Определение и базис ортогональных сигналов
Ортогональный базис сигналов – это система независимых векторов,
которые образуют координатный базис и позволяют создать проекции
сложного сигнала в n-мерном линейном пространстве сигналов
(пространстве Гилберта).
T
( s1 , s2 ) = s1 (t ) s2 (t )dt = 0 (13) Условие ортогональности
0
n
s (t ) = ci ei (t ) (14): Обобщенный ряд Фурье
i =1
t2
сi = s(t ) ei (t )dt (15)
t1

12.

Примеры ортогональных сигналов

13.

Выводы:
Любой реальный сигнал можно разложить по базису
ортогональной системы функций:
S ( t ) = Ci i ( t )
i =0
Такое разложение называется обобщённым рядом
Фурье.

14.

Выводы:
Использование обобщённого ряда Фурье даёт
наилучшую аппроксимацию функции S ( t ) для
заданной системы функций n t и фиксированного
числа слагаемых.
()
Для ортонормированной системы
функций n t энергия сигнала равна сумме
энергий компонентов обобщённого ряда Фурье
()
ES = Cn
n =0
2