Интерполяция полином 2026

1. Интерполяция таблично заданных функций

Учебный пример
Презентация подготовлена на кафедре «Путь и путевое хозяйство» РУТ (МИИТ), 2025 г. (с)
Журавлев А.С.
Все права защищены, ст. 1263, 1268 ГК
РФ

2.

Полиномиальный метод интерполяции.
Этот метод интерполяции является наиболее простым способом
интерполирования алгебраическими многочленами.
Если в качестве интерполирующей функции выбрать полином степени n-1, то
задача интерполяции имеет единственное решение. Действительно полином
степени n-1 определяется n значениями свободных параметров а1 , а2 , а3 , … аn
согласно формуле
( x) a1 a2 x a3 x ... an x
2
Этот полином удовлетворяет условиям
( xi ) yi i 1, 2,3,..., n
n 1

3.

Полиномиальный метод интерполяции.
При этом можно получить следующую систему уравнений
a1 a2 x1 a3 x12 ... an x1n 1 y1
2
n 1
a1 a2 x2 a3 x2 ... an x2 y2
2
n 1
a1 a2 x3 a3 x3 ... an x3 y3
.................................................
a1 a2 xn a3 xn2 ... an xnn 1 yn
относительно коэффициентов многочлена.

4.

Полиномиальный метод интерполяции.
Запишем эту систему в матричном виде
W
A
Y
W - определитель Вандермонда;
А – вектор неизвестных коэффициентов полинома;
Y – вектор правах частей системы уравнений.

5.

Полиномиальный метод интерполяции.
Решение запишем в виде
A Y / W Y *W
W - определитель Вандермонда;
А – вектор неизвестных коэффициентов полинома;
Y – вектор правах частей системы уравнений.
1

6.

Полиномиальный метод интерполяции.
Эта система однозначно разрешима. Однозначная разрешимость системы
следует и из того хорошо известного факта, что определитель этой системы
(определитель Вандермонда )
1 x1
2
1
n 1
1
x ...x
1 x2
2
2
n 1
2
x ...x
1 x3
x32 ...x3n 1
...........................
1 xn
отличен от нуля
xn2 ...xnn 1

7.

Пример 1.
Из эксперимента получены такие значения функции f(x):
x
х1 = 1
х2 = 2
х3 = 3
х4 = 4
f(x)
y1 = 3
y2 = 1
y3 = 2
y4 = 4
В данном случае число заданных точек n=4. Следовательно представим
приближенно функцию у = f(х) многочленом 3-й степени ϕ(x). Составим систему
уравнений.

8.

Система уравнений имеет вид
a1 a21 a312 a413 3
2
3
a1 a2 2 a3 2 a4 2 1
2
3
a1 a2 3 a3 3 a4 3 2
a1 a2 4 a3 42 a4 43 4
или в матричной форме
W A Z

9.

Определитель Вандернома
1 1 1 1
W
1 2
4 8
1 3 9
27
1 4 16 64

10.

Вектор правых частей системы
3
Z
1
2
4

11.

Решаем систему уравнений
A Z W
1
и получаем следующие значения коэффициентов полинома ai
a1 10
a2 10,1667
a3 3,5
a4 0,3333

12.

Полином 3-й
степени.
4.5
4
f(x) = − 0.3333333333333 x³ + 3.5 x² − 10.166666666667 x + 10
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5

13.

Выполним интерполяцию. Определим значение функции в точке х = 1,25
4.5
4
f(x) = − 0.3333333333333
f(x) = − 0.3333333333333
x³ + 3.5 x²x³−+10.166666666667
3.5 x² − 10.166666666667
x + 10 x + 10
3.5
3
2.5
2.109
2
1.5
1
0.5
0
0.5
0
Series1
0.51
1 1.5
1.5
2
2
2.5
2.5
3
3
3.5 3.5
44
4.5

14.

Выполним экстраполяцию. Определим значение за пределами заданной
функции в точке х = 0,85
4.5 = 0
f(x)
4
f(x) = − 0.3333333333333 x³ + 3.5 x² − 10.166666666667 x + 10
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5