Полином Жегалкина

1.

2.

Теорема.
Любая функция алгебры логики
от n переменных может быть
представлена полиномом
Жегалкина и это представление
единственно.

3.

Сложение по модулю 2
x
y
y
xꚛ
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
строгая дизъюнкция, исключающее «или»,
жегалкинское сложение, M2…

4.

Свойства операции сложение
по модулю 2
x1 x2 x2 x1
x1 ( x2 x3 ) ( x1 x2 ) x3
x1 ( x2 x3 ) x1 x2 x1 x3
Возможно разложение в СДНФ
(освобождение от М2 или строгой дизъюнкции)
x1 x2 x1 x2 x1 x2

5.

Свойства операции сложение
по модулю 2
x x 0
x x 1
Операции с
константами
x 0 x
x 1 x
Связь между дизъюнкцией
и суммой по модулю два (строгой дизъюнкцией)
x1 x2 x1 x2 x1 x2

6.

Полином (многочлен) Жегалкина:
функция от 2 логических переменных
P x, y a0 a1 x a2 y a12 xy
функция от 3 логических переменных
P x, y, z a0 a1 x a2 y a3 z
a12 xy a13 xz a23 yz a123 xyz
a0 , a1 ,..., a123
- полиномиальные
коэффициенты (принимают
значение равное 0 или 1)

7.

Полином (многочлен) Жегалкина от n
логических переменных:
P x1 x2 x3 ...xn a0 a1 x1 a2 x2 ... an xn
a12 x1 x2 ... a123 x1 x2 x3 ... a123... n x1 x2 x3 ...xn
Всего здесь 2ⁿ слагаемых.
ꚛ - означает сложение по модулю 2,
Все полиномиальные коэффициенты являются
константами (равными нулю или единице).

8.

Алгоритм построения ПЖ
(с помощью эквивалентных преобразований)
1. Минимизируем булеву функцию любым
известным нам способом
2. Заменяем дизъюнкцию суммой по модулю 2
f1 f 2 f1 f 2 f1 f 2
xi xi 1
3. Заменяем
4. Используем распределительный закон
(раскрываем скобки)
5. Применяем f f 0 и f 0 f

9.

Метод неопределенных коэффициентов
(по таблице истинности или вектору значений функции)
xyz f
a0 a1 x a2 y a3 z a12 xy a13 xz a23 yz a123 xyz
0001 a
0011 a a 1 a
0100 a a 1 a
0110 a a a a 1 1 0 a
1001 a a 1 a
1010 a a a a 1 0 0 a
1101 a a a a 1 0 1 a
1111 a a a a a a a a 1 0 1 0 1 1 0 a
0
a0 1
0
3
3
a3 0
0
2
2
a2 1
0
0
a
2
3
23
0
1
0
1
3
13
0
1
2
12
1
23
1
2
3
12
13
12
13
23
123
123
P 1 y x y x z x yz
a23 0
a1 0
a13 1
a12 1
a123 1

10.

Иван Иванович Жегалкин (1869-1947) – российский и
советский математик и логик, профессор Московского
университета. Заслуженный деятель науки РСФСР один из
основоположников современной математической логики. Из его
открытий наибольшую известность получил так называемый
полином Жегалкина. Жегалкин награжден Орденом Трудового
Красного Знамени.
Жегалкин предложил в 1927 году в качестве
удобного средства для представления функций булевой логики многочлен, названный
полиномом Жегалкина.
Известный советский математик Николай
Лузин, вспоминая студенческие годы,
говорит, что из профессоров не боялся лишь
Жегалкина.

11.

А теперь самостоятельно потрудимся
над получением полинома Жегалкина
в тетрадях.

12.

Вариант А
x ∧ (y →z)
xyz f
0000 a
0010 0 a
0100 0 a2
0110 0 0 0 a
1001 0 a1
1011 0 1 0 a
1100 0 1 0 a12
1111 0 1 0 0 1 0 0 a
0
3
23
13
123
P x x y x yz
a
a0 0
a3 0
a2 0
a23 0
a1 1
a13 0
a12 1
a123 1

13.

Вариант Б
xyz f
x ↓ (y | z)
0000 a
0010 0 a
0100 0 a2
0111 0 0 0 a
1000 0 a1
1010 0 0 0 a
1100 0 0 0 a12
1110 0 0 0 0 0 0 1 a
0
3
23
13
123
P yz x yz
a
a0 0
a3 0
a2 0
a23 1
a1 0
a13 0
a12 0
a123 1

14.

Вариант В
xyz f
0000
0011
0101
0110
1000
1010
1100
1110
x ↓ (y ↔ z)
a
a0
a0 0
0 a3
a3 1
0 a2
a2 1
0 1 1 a23
a23 0
0 a1
a1 0
0 0 1 a13
a13 1
0 0 1 a12
a12 1
0 0 1 1 1 1 0 a123
a123 0
P y z xy xz

15.

Вариант Г
x ∨ (y ↔ z)
xyz f
0001
0010
0100
0111
1001
1011
1101
1111
a
a0
a0 1
1 a3
a3 1
1 a2
a2 1
1 1 1 a23
a23 0
1 a1
a1 0
1 0 1 a13
a13 1
1 0 1 a12
a12 1
1 0 1 1 1 1 0 a123
a123 0
P 1 y z xy xz

16.

Вариант Д
xyz f
0001
0011
0101
0111
1000
1011
1101
1110
x | (y ↔ z)
a
a0
a0 1
1 a3
a3 0
1 a2
a2 0
1 0 0 a23
a23 0
1 a1
a1 1
1 1 0 a13
a13 1
1 1 0 a12
a12 1
1 1 0 0 1 1 0 a123
a123 0
P 1 x xy xz

17.

Дополнительное задание.
Пусть функция задана вектором значений
f = (11001011).
Найти полином Жегалкина.