РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

1.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

2.

Решение уравнений
Для алгебраических уравнений вида f(x)=0 решение в
MathCad находится с помощью функции root.
Общий вид функции следующий:
root( f(х), х), где
f(х) – функция, описывающая левую часть выражения вида f(x)=0,
х – имя переменной, относительно которой решается уравнение.

3.

Функция root реализует алгоритм поиска корня численным
методом и требует предварительного задания начального
приближения искомой переменной х. Поиск корня будет
производиться вблизи этого числа. Таким образом, присвоение
начального значения требует предварительной информации о
примерной локализации корня.
Функция позволяет найти как вещественные корни, так и
комплексные. В случае комплексного корня начальное
приближение нужно задать в виде комплексного числа.

4.

Если после многих итераций Mathcad не находит подходящего
приближения, то появится сообщение «отсутствует сходимость».
Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами:
• уравнение не имеет корней;
• корни уравнения расположены далеко от начального приближения;
• выражение f(x) имеет разрывы между начальным приближением и
корнем;
• выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение
было вещественным и наоборот.

5.

Для изменения точности, с которой функция root ищет
корень, нужно изменить значение системной переменной TOL.
Например, после задания в документе оператора TOL:=0.00001
точность вычисления корня станет равной 0.00001.

6.

Найти корень уравнения с применением функции root, используя зададанное
начальное значение
x := 2
начальное значение
(3
a := root x - e
a = 1.227
0.5 x
,x
) применение функции root
значение корня

7.

Найти корень уравнения с применением функции root, используя зададанное
начальное значение. Выполнить графическую интерпретацию
3
f ( x ) := x - e
x := -3 , -2.98 .. 3
0.5 x
25
1.2
19.5
14
8.5
3
f ( x)
-3
- 2.3
- 1.6
0.2
- 0.9 --2.5
0.5
1.2
1.9
2.6
-8
- 13.5
- 19
- 24.5
- 30
x
x := 1.2
(3
a := root x - e
0.5 x
,x
)
a = 1.227
3.3
4

8.

Для нахождения корней полиномиального уравнения вида
В отличие от функции root, polyroots не требует начального
приближения и вычисляет сразу все корни, как вещественные, так
и комплексные.

9.

Общий вид:
polyroots(v),
где v – вектор коэффициентов полинома длины n+1, n – степень
полинома. Вектор v формируется следующим образом: в первый
его элемент заносится значение коэффициента полинома при х0,
т.е. v0, во второй элемент - значение коэффициента полинома при
х1, т.е. v1 и т.д. Таким образом, вектор заполняется
коэффициентами перед степенями полинома справа налево.
Функция вычисляет вектор длины n, состоящий из корней
полинома.

10.

3
x - 8 x + 3 = 0
3
-8
v :=
0
1
a := polyroots( v )
-3
a = 0.382
2.618

11.

x := -5, -4.8.. 4
3
y( x) := x - 8 x + 3
40
-3
2.618
26
12
-5
-4
-3
-2
- 1- 2 0
- 16
y ( x)
- 30
- 44
- 58
- 72
- 86
- 100
x
1
2
3
4
5

12.

Решение систем уравнений и неравенств
MathCAD дает возможность решать системы уравнений и
неравенств.
Наиболее распространенным методом решения уравнений в
Mathcad является блочный метод.

13.

Для решения системы этим методом необходимо выполнить следующее:
a) задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в
систему уравнений;
б) задать ключевое слово Given, которое указывает, что далее следует
система уравнений;
в) ввести уравнения и неравенства в любом порядке (использовать кнопку
логического равенства на панели знаков логических операций
для набора
знака «=» в уравнении);
г) ввести любое выражение, которое включает функцию Find.

14.

После набора решающего блока Mathcad возвращает точное решение
уравнения или системы уравнений.
Обратиться к функции Find можно несколькими способами:
Find(x1, x2,…) = - корень или корни уравнения вычисляются и выводятся
в окно документа.
x := Find(x1, x2,…) – формируется переменная или вектор, содержащий
вычисленные значения корней.
Сообщение об ошибке «Решение не найдено» появляется тогда, когда
система не имеет решения или для уравнения, которое не имеет
вещественных корней, в качестве начального приближения взято
вещественное число и наоборот.

15.

Приближенное решение уравнения или системы можно получить с
помощью функции Minerr.
Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее
уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает
это приближение. Функция Find в этом случае возвращает
сообщение об ошибке. Правила использования функции Minerr
такие же, как и для функции Find. Часть документа, расположенная
между ключевыми словами Given и Minerr так же носит название
решающего блока.

16.

x := 1
y := 1
z := 1
Given
2 x + y + z = 6
3 x + 2 y + z = 7
3
3
3
( x - 1) + ( y + 2) + ( z - 3) = 7
x
y := Find ( x , y , z)
z
x = 1.146
y = -0.146
z = 3.854

17.

Для решения систем линейных уравнений можно использовать
общепринятые математические методы: метод Крамера,
матричный метод и т.д.
Матричный метод решения системы линейных уравнений
реализован в функции lsolve. Общий вид функции:
lsolve(а, b)
где а – матрица коэффициентов перед неизвестными, b – вектор
свободных членов.
Матричный метод можно реализовать и с помощью обратной
матрицы.

18.

Блочный метод
x1 := 1
x3 := 1
x2 := 1
Given
3 x1 + x2 + x3 = -4
-3 x1 + 5 x2 + 6 x3 = 36
x1 - 4 x2 - 2 x3 = -19
x1
x2 := Find ( x1, x2, x3)
x3
x1 = -3
x2 = 3
x3 = 2

19.

Метод Крамера
ORIGIN := 1
3 1 1
A := -3 5 6
1
4
2
-4
B := 36
-19
A1 := A
A2 := A
A3 := A
2
A2 := B
3
A3 := B
1
A1 := B
3 -4 1
A2 = -3 36 6
1 -19 -2
-4 1 1
A1 = 36 5 6
-19 -4 -2
x1 :=
A1
x1 = -3
A
x2 :=
x2 = 3
A2
A
x3 :=
A3
A
x3 = 2
3 1 -4
A3 = -3 5 36
1 -4 -19

20.

Матричный способ
x1
x2 := A- 1 B
x3
x1 = -3
x2 = 3
x3 = 2

21.

x1
x2 := lsolve( A , B)
x3
x1 = -3
x2 = 3
x3 = 2