Степенная функция

1.

Степенная функция
Ш.А. Алимов
Алгебра и начала анализа
10 класс

2.

Как алгебраисты вместо АА, ААА, … пишут А2, А3, …
1 1 1
так я вместо
, 2 , 3 пишу а-1, а-2, а-3, …
а а а
Ньютон И.

3.

Нам знакомы функции
у
у = х2
у
у=х
Парабола
Прямая
х
х
у
у
у = х3
х
Кубическая
парабола
Гипербола
1
у=
х
х

4.

у = х,
у = х2,
у = х3,
1
у=
х
Все эти функции являются частными
случаями степенной функции
у = хр, где р – заданное действительное число
Свойства и график степенной функции
зависят от свойств степени с
действительным показателем, и в частности
от того, при каких значениях х и р имеет
смысл степень хр.

5.

Показатель р = 2n – четное натуральное число
у = х2, у = х4 , у = х6, у = х8, …
у
D( y ) : x R
у = х2
Е ( y) : у 0
0
1
х
График четной функции
Область определения
значений
функции
симметричен
относительно
оси–Оу.–
Область
функции
множество
значений,
График
нечетой
функции
значения,
которые
может
которые может
принимать
симметричен
относительно
принимать
переменная
х начала
переменная
у О.
координат
– точки
Функция у=х2n четная,
т.к. (–х)2n = х2n
Функция убывает на
промежутке
(− ;0]
Функция возрастает
на промежутке [0;+ )

6.

y
у = х2
у = х4
у = х6
-1 0 1 2
x

7.

Показатель р = 2n-1 – нечетное натуральное число
у = х3, у = х5, у = х7, у = х9, …
у
D( y ) : x R
Е ( y) : у R
у = х2
Функция у=х2n-1 нечетная,
т.к. (–х)2n-1 = – х2n-1
0
1
х
Функция возрастает
на промежутке − ;+
(
)

8.

y
у = х3
у = х5
у = х7
-1 0 1 2
x

9.

Показатель р = – 2n, где n – натуральное число
у = х-2, у = х-4 , у = х-6, у = х-8, …
у
D( y ) : x 0
Е ( y) : у 0
0
y=х
−2
1
1
y= 2
х
х
Функция у=х2n четная,
т.к. (–х)-2n = х-2n
Функция возрастает на
промежутке
(− ;0)
Функция убывает
на промежутке (0;+ )

10.

y у=х
-2
у = х-4
у = х-6
-1 0 1 2
x

11.

Показатель р = – (2n-1), где n – натуральное число
у = х-3, у = х-5 , у = х-7, у = х-9, …
у
D( y ) : x 0
Е ( y) : у 0
0
y=х
−1
х
1
1
y=
х
Функция у=х-(2n-1)
нечетная,
т.к. (–х)–(2n-1) = –х–(2n-1)
Функция убывает на
промежутке
(− ;0)
Функция убывает
на промежутке (0;+ )

12.

y
у = х-1
у = х-3
у = х-5
-1 0 1 2
x

13.

Показатель р – положительное действительное нецелое
1
число
у = х1,3, у = х0,7, у = х2,12, у = х 3 …
у
у=х
у=х
0
1
D( y ) : x 0
4
3
1
3
Е ( y) : у 0
Функция возрастает на
х промежутке
[0;+ )

14.

y
у = х0,84
у = х0,7
у = х0,5
-1 0 1 2
x

15.

y
у = х3,1
у = х2,5
-1 0 1 2
у = х1,5
x

16.

Показатель р – отрицательное действительное
1
−
нецелое число
3
у
=
х
-1,3
-0,7
-2,12
у=х , у=х , у=х
,
…
у
D( y ) : x 0
Е ( y) : у 0
Функция убывает на
0
1
х промежутке
(0;+ )

17.

y
у = х-2,3
у = х-1,3
у = х-3,8
у = х-0,3
-1 0 1 2
x

18.

у
у
у=х
0
у=х
1
4
3
1
3
х
0
1
х
Пользуясь рисунком, найти промежутки, на которых
график функции у = х
лежит выше (ниже) графика
функции у = х.

19.

у
у
у=х
0
у=х
1
4
3
1
3
х
0
1
х
Пользуясь рисунком, найти промежутки, на которых
график функции
функции у = х.
у=х
sin 450
лежит выше (ниже) графика

20.

Пользуясь рисунком, найти промежутки, на которых
1−
график функции
лежит выше (ниже) графика
у=х
функции у = х.
у
у
у
у = х0
0
у=х
1
1
3
х
1
4
3
х
0
1
х

21.

y
у = х-4
-1 0 1 2
у = (х – 2)-4
x

22.

y
у = х-4
-1 0 1 2
у = х– 4 – 3
x

23.

y
у = х-4
у = (х+1)– 4 – 3
-1 0 1 2
x

24.

y
у = (х-2)– 3– 1
у = х-3
-1 0 1 2
x

25.

y
у = (х+2)–1,3 +1
у = х-1,3
-1 0 1 2
x