77fa9010fd42492e88286b472d9ea174

1.

Свободные механические колебания.
Гармонические колебания. Уравнение
колебаний и превращения энергии.

2.

Что такое механические колебания?
● Механические колебания — это движения, которые точно или
приближенно повторяются через равные промежутки времени.
● Главное условие возникновения колебаний: наличие силы,
возвращающей систему в положение устойчивого равновесия при
выведении из него.
● Виды колебательных систем (осцилляторов):
○ Математический маятник — материальная точка на невесомой
нерастяжимой нити.
○ Пружинный маятник — тело, прикрепленное к упругой пружине.

3.

Свободные колебания
● Свободные колебания — это колебания, которые происходят в системе
за счет первоначально сообщенной энергии после того, как система была
выведена из положения равновесия.
● Свободные колебания всегда затухающие в реальных условиях из-за
действия сил трения и сопротивления среды (амплитуда со временем
уменьшается).
● Идеальная модель: в отсутствие трения свободные колебания
называют незатухающими, они могут продолжаться бесконечно долго.

4.

Основные характеристики колебаний
Смещение (x) — отклонение колеблющейся точки от положения равновесия в данный момент времени
(измеряется в метрах, м).
Амплитуда (Xm или A) — максимальное по модулю смещение от положения равновесия (м).
Период (T) — время одного полного колебания (секунды, с). Формула: T = t / N.
Частота (близко обозначается как v(ню) или f) — число колебаний в секунду (Герцы, Гц). Формула: v(ню) = 1 /
T.
Циклическая частота (w) — число колебаний за 2 * π секунд. Формула: w = 2 * π * v(ню) = 2 * π / T.

5.

Гармонические колебания
● Гармонические колебания — это периодические изменения
физической величины во времени, происходящие по закону синуса
или косинуса.
● Уравнение гармонических колебаний для смещения:
● x(t) = Xm * cos(w * t + ф0) или x(t) = Xm * sin(w * t + ф0)
● Компоненты уравнения:
a. x(t) — смещение в момент времени t.
b. Xm — амплитуда колебаний.
c. (w * t + ф0) — фаза колебаний в момент времени t (определяет
состояние системы).
d. ф0 — начальная фаза колебаний (в момент времени t = 0).

6.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях
● Скорость (v) и ускорение (a) также совершают гармонические
колебания, но сдвинуты по фазе относительно смещения.
Математически они находятся как первая и вторая производные
от смещения x(t):
● Уравнение скорости: v(t) = x'(t) = -Xm * w * sin(w * t)
a. Максимальная скорость: Vm = Xm * w (достигается в
положении равновесия, когда x = 0).
● Уравнение ускорения: a(t) = v'(t) = -Xm * w^2 * cos(w * t) = -w^2 * x
a. Максимальное ускорение: Am = Xm * w^2 (достигается в точках
максимального отклонения, когда x = Xm).

7.

Превращение энергии при колебаниях (на примере
пружинного маятника)
● При свободных незатухающих колебаниях происходит
периодическое превращение кинетической энергии в
потенциальную и наоборот.
● В крайних точках (максимальное отклонение):
a. Смещение x = Xm, скорость v = 0.
b. Кинетическая энергия Ек = 0.
c. Потенциальная энергия максимальна: Еп = (k * Xm^2) / 2.
● В положении равновесия:
a. Смещение x = 0, скорость максимальна (v = Vm).
b. Потенциальная энергия Еп = 0.
c. Кинетическая энергия максимальна: Ек = (m * Vm^2) / 2.

8.

Закон сохранения полной механической энергии
● В идеальной колебательной системе (без
трения) полная механическая энергия остается
неизменной в любой момент времени:
● Eполная = Ек(t) + Еп(t) = const
● Формула сохранения: E = (m * v^2) / 2 + (k * x^2)
/ 2 = (m * Vm^2) / 2 = (k * Xm^2) / 2
● Важное замечание для 11 класса: Кинетическая и
потенциальная энергии колеблются с частотой,
которая в 2 раза превышает частоту колебаний
смещения (так как энергия принимает
максимальные значения дважды за один период
колебаний маятника).

9.

Вопросы для закрепления
● Колебания описываются уравнением x = 0.05 * cos(10 * π * t).
Найдите амплитуду, циклическую частоту и период колебаний.
(Ответ: Xm = 0.05 м, w = 10 * π рад/с, T = 2π / 10π = 0.2 с).
● В какой момент времени колеблющийся пружинный маятник
обладает минимальным ускорением? (Ответ: при прохождении
положения равновесия, когда x = 0).
● Как изменится полная механическая энергия пружинного
маятника, если амплитуду его колебаний увеличить в 2 раза?
(Ответ: увеличится в 4 раза, так как полная энергия
пропорциональна квадрату амплитуды).