СУХТП лк 3-4-5

1. СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

РТУ МИРЭА
СИСТЕМЫ
УПРАВЛЕНИЯ
ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ
ПРОЦЕССАМИ
Кафедра процессов и аппаратов химических
технологий имени Гельперина Н.И.
к.т.н., доц. Мошин А.А.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ САУ

РТУ МИРЭА
МОДЕЛИРОВАНИЕ
КАК МЕТОД
ИССЛЕДОВАНИЯ САУ

3. Математическое моделирование

РТУ МИРЭА
Основу теории автоматического управления составляют математические модели, отражающие
взаимосвязь элементов САУ друг с другом и с внешней средой. Прежде чем перейти к рассмотрению
математических моделей систем, необходимо пояснить сущность моделирования. Как правило,
экспериментально исследуют свойства нереальных систем, а их моделей.
Модель – это материальный или мысленно представленный объект, который в процессе познания
(изучения) используется вместо оригинала (например, химического реактора), сохраняя его
основные свойства и отношения, важные для данного исследования.
Моделирование – построение и изучение моделей реально существующих систем, а также
выполнение экспериментов на модели вместо прямых экспериментов на реальной системе.
Системы управления химико-технологическими процессами
3

4. Физическая модель

РТУ МИРЭА
Физическая модель – это материально реализованная система (например, технологическая
установка или аппарат), имеющая ту же физическую природу, что и моделируемый объект,
и предназначенная
для
проведения
экспериментальных
исследований
с
целью
получения информации о моделируемом объекте (например, о ХТП).
Системы управления химико-технологическими процессами
4

5. Математическое моделирование

РТУ МИРЭА
Под математической моделью (математическим описанием) объекта управления в химической
технологии можно понимать совокупность математических уравнений (систему дифференциальных
или конечно-разностных уравнений), отражающих взаимосвязь выходных и входных величин
объекта, дополненную ограничениями, накладываемыми на эти величины условиями их физической
реализации и безопасной эксплуатации.
Системы управления химико-технологическими процессами
5

6. Математическое моделирование

РТУ МИРЭА
Математическая модель должна учитывать все наиболее существенные особенности объекта
управления, важные с точки зрения его управления, и достаточно полно и верно качественно и
количественно описывать его свойства.
По своей физической сути процессы,
детерминированные и стохастические.
протекающие
Системы управления химико-технологическими процессами
в
объекте
управления,
делятся
на
6

7. Детерминированный процесс

РТУ МИРЭА
Детерминированными называются такие процессы, в которых определяющие величины
изменяются непрерывно по вполне определенным закономерностям. При этом значения выходных
величин, характеризующих процесс, однозначно определяются значениями входных величин. Для
математического описания детерминированных процессов применяют методы классического
анализа и численные методы.
Пример детерминированного процесса: перемешивание реакционной смеси в проточном реакторе с
мешалкой, в котором достигается ее равномерное перемешивание.
Системы управления химико-технологическими процессами
7

8. Стохастический процесс

РТУ МИРЭА
Стохастическими называются такие процессы, в которых определяющие величины являются
случайными величинами с определенным распределением вероятностей. При этом значения
выходных величин, характеризующих процесс, не находятся в четком соответствии со значениями
входных величин. Для математического описания стохастических процессов применяют аппарат
теории вероятности и математической статистики.
Пример стохастического процесса: турбулентные течения жидкостей и газов.
Системы управления химико-технологическими процессами
8

9. Статическое моделирование

РТУ МИРЭА
Статическая модель. Вначале анализируют физико-химические закономерности технологического
процесса, его целевое назначение, основные уравнения, которыми можно описать этот процесс и
его особенности.
Затем выявляют входные (управляющие и возмущающие воздействия) и выходные (управляемые
переменные) переменные процесса. Далее определяют связи между названными переменными и
граничные условия протекания процесса.
Статическая модель содержит уравнение, описывающее поведение объекта в статическом режиме,
т. е. показывает взаимосвязь между входными и выходными величинами объекта управления.
Системы управления химико-технологическими процессами
9

10. Уравнение статики

РТУ МИРЭА
y = f (u, d),
где u – управляющее воздействие; d – возмущающее воздействие.
Это уравнение называется уравнением статики и является алгебраическим и дифференциальным
уравнением, содержащим производные по какому-либо параметру, кроме времени (условие
неизменности координат во времени).
Системы управления химико-технологическими процессами
10

11. Динамическая модель

РТУ МИРЭА
Динамическая модель. Построение
динамической модели предполагает определение
динамических характеристик процесса экспериментально, теоретически или сочетая оба способа.
Динамическая модель содержит уравнения динамики
y = f (u, d, τ),
ymin ≤ y ≤ ymax
umin ≤ u ≤ umax
Системы управления химико-технологическими процессами
11

12. Уравнение динамики линейной системы n-го порядка

Уравнение динамики линейной системы
РТУ МИРЭА n-го порядка
Решить уравнение – значит найти y = f (τ) при известном изменении входного воздействия
времени.
Системы управления химико-технологическими процессами
x во
12

13. Линеаризация

РТУ МИРЭА
Реальные системы чаще всего описываются нелинейными уравнениями.
математического описания нелинейные уравнения заменяются на линейные.
Для
упрощения
Замена реальной нелинейной характеристики линейной называется линеаризацией.
Линеаризация с помощью ряда Тейлора, путем отсечения частей полинома со степенью n ≥ 2.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами, т.е. искомая функция
заменяется на представление в виде полинома.
Системы управления химико-технологическими процессами
13

14. Линеаризация

РТУ МИРЭА
Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений
динамической системы
Дифференциальные уравнения ДС и ее подсистем (элементов, звеньев), составленные в соответствии с
физическими законами их функционирования в большинстве случаев нелинейные. Простейшим методом изучения
нелинейных систем является линеаризация. Различают следующие методы линеаризации:
1) касательная – с использованием разложения нелинейной функции в ряд Тейлора, метод непосредственной
подстановки и графический;
2) метод описывающих функций, или гармонической линеаризации – линеаризуется нелинейная система не во
временной области, а в частной;
3) статистической линеаризацией – применяется во временной области: нелинейная система заменяется
эквивалентной линейной моделью в предположении, что возмущения имеют гауссовское (нормальное)
распределение;
4) комбинация гармонической и статистической линеаризации – метод комбинированной, или совместной,
линеаризации.
Системы управления химико-технологическими процессами
Системы управления химико-технологическими процессами
14

15. Линеаризация

Рассмотрим линеаризацию нелинейной детерминированной математической модели ДС методом
разложения в ряд Тейлора.
Для простоты изложения предположим, что ДС или ее звено
описывается нелинейным
x
x двумя входными и переменными.
дифференциальным уравнением n-го порядка с одной выходной и
g(t)
x(t)
q(t)
x0
ДС
Такая ДС будет описываться следующим уравнением:
0
t
а
б
(1)
Запишем уравнение (1) в виде скалярного уравнения
сF векторным
аргументом (условная
F
C
B
запись)
F x, q = g (2)
(
где
)
( )
F0
A
g
g
Системы управления химико-технологическими процессами
0
g0
g
15

16. Линеаризация

Представим переменные, входящие в уравнение (1), в следующем виде:
и т. д.
x = x0 + x , x(i ) = x0(i ) + x(,i )
Здесь нижний индекс «0» – установившееся значение переменной; символ –
отклонение переменной от установившегося значения.
Концепция линеаризации по методу малого отклонения для САУ, основано на
том, что в процессе управления все управляемые величины мало откланяются
от их заданных значений, иначе САУ не выполняла бы своей задачи и не была
бы системой управления.
x
x
g(t)
q(t)
x(t)
x0
ДС
0
а
t
б
16

17. Линеаризация

Запишем уравнение ДС или ее подсистемы (2) в установившемся состоянии
(
)
(
)
F x 0 , q0 = (g 0 ) (3)
Разложим функцию F x, q (n + k q + 2) переменных уравнения (2) в ряд Тейлора в
окрестности установившегося режима:
(4)
где
d r F (x, q ) – дифференциал r-го порядка функции
F (x, q )
и
Rn (x, q ) – остаточный член разложения.
17

18. Динамические характеристики

РТУ МИРЭА
Системы автоматического управления являются динамическими системами, поэтому их качество
оценивается по поведению в двух режимах работы: установившемся (частным случаем
установившегося режима является статический режим) и неустановившемся или переходном
(динамическом).
18

19. Установившийся режим

РТУ МИРЭА
Установившийся режим – это реакция системы, остающаяся спустя большой промежуток времени с
момента приложения входного сигнала. В установившемся режиме решаются две основные задачи:
согласование диапазонов изменения переменных в элементах системы управления с диапазоном
изменения переменных объекта управления и определение коэффициента усиления управляющего
устройства.
В установившемся режиме в общем случае регулируемая величина может быть постоянной (системы
стабилизации), изменяться по определенному заданному закону (программные системы),
изменяться по заранее не известному закону в соответствии с изменением ведущей величины
(следящие системы). Поэтому установившийся режим называют режимом невозмущенного
движения системы.
19

20. Переходный режим

РТУ МИРЭА
Переходный режим характеризуется переходом динамической системы из одного равновесного
состояния в другое.
Для переходного режима формулируются показатели качества управления, составляется
математическое описание процессов, протекающих в объекте управления, решается задача синтеза
структуры управляющего устройства с определением параметров настройки на основе заданных
показателей качества управления, выполняется анализ и дается оценка работы системы в заданных
условиях.
20

21. Преобразование Лапласа

РТУ МИРЭА
Преобразование Лапласа – математический метод, позволяющий сравнительно просто решать
линейные дифференциальные уравнения.
В результате преобразования дифференциальное уравнение в пространстве оригиналов
приобретает форму алгебраического уравнения в пространстве изображений, в котором в качестве
независимой переменной вместо времени $ используется комплексная переменная s.
Применяя к решению полученного алгебраического уравнения обратное преобразование Лапласа,
находим решение исходного дифференциального уравнения.
21

22. Преобразование Лапласа

РТУ МИРЭА
Преобразование Лапласа функции f(τ) действительной переменной τ определяется соотношением:
где F (s) – функция комплексной переменной s; φ – символ прямого преобразования Лапласа.
Функция f (τ) называется оригиналом, а функция F (s) – изображением (по Лапласу).
22

23. Преобразование Лапласа

Приведем некоторые основные теоремы и свойства преобразования
Лапласа, которые будут использоваться при рассмотрении ДС.
преобразования Лапласа, которые будут
использоваться при рассмотрении ДС.
23

24. Преобразование Лапласа

24

25. Преобразование Лапласа

25

26. Свойства преобразования Лапласа

РТУ МИРЭА
1. Линейность
Если функции f1 (τ) и f2 (τ) являются оригиналами, изображения которых F1 (s) и F2 (s) соответственно, и если
величины с1 и с2 не зависят от τ и s, то справедливо равенство
φ[с1 f1(τ) + с2 f2(τ)] = с1 F1(s) + с2 F2(s)
26

27. Свойства преобразования Лапласа

РТУ МИРЭА
2. Дифференцирование оригинала
Если функция f (