усеч конус

1.

Усеченный
конус.
МОУ СОШ №46
гПетрозаводск

2.

Усеченным конусом
называется часть
полного конуса,
заключенная между
основанием и секущей
плоскостью,
параллельной
основанию. Круги,
лежащие в
параллельных
плоскостях,
называются
основаниями
усеченного конуса.

3.

Образующей
усеченного конуса
называется часть
образующей
полного конуса,
заключенная между
основаниями.
Высотой усеченного
конуса называется
расстояние между
основаниями.

4.

?
Пусть в конусе,
высота которого
известна,
проведено сечение,
находящееся на
расстоянии три от
вершины. Чему
равна образующая
получившегося
усеченного конуса,
если известна
образующая
полного конуса?
8

5.

Усеченный конус
можно
рассматривать как
тело, полученное
при вращении
прямоугольной
трапеции вокруг
боковой стороны,
перпендикулярной
основанию.

6.

?
Пусть дан
усеченный конус,
радиусы оснований
и высота которого
известны. Найдите
образующую
усеченного конуса.
8

7.

Прямая,
соединяющая
центры оснований,
называется осью
усеченного конуса.
Сечение, проходящее
через ось,
называется осевым.
Осевое сечение
является
равнобедренной
трапецией.

8.

?
Найдите площадь
осевого сечения,
если известны
радиус нижнего
основания, высота
и образующая.
36

9.

Боковая поверхность
усеченного конуса.
Площадь боковой
поверхности
усеченного конуса.
Площадь боковой
поверхности усеченного
конуса равна
произведению
полусуммы длин
окружностей оснований
на образующую.

10.

Доказательство:
Боковую поверхность
усеченного конуса
будем понимать как
предел, к которому
стремится боковая
поверхность вписанной
в этот конус
правильной усеченной
пирамиды, когда число
боковых граней
неограниченно
увеличивается.

11.

Доказательство:
Впишем в конус
правильную пирамиду.
Ее боковая
поверхность состоит из
трапеций.
(
)
р
+
Р
=
h
s
бок
.пир
2
S
→
S
бок
.пир
бок
.кон
р → с Р →С h → l
с = 2 r C = 2 R
(
)
2
R
+
r
(
)
l=
R
+
r
l
2

12.

Замечание:
Площадь боковой
поверхности
усеченного конуса
можно рассматривать
как разность между
площадями боковых
поверхностей двух
конусов. Поэтому
развертка усеченного
конуса – это часть
круглого кольца.

13.

?
Усеченный конус
получен от вращения
прямоугольной
трапеции вокруг
боковой стороны,
перпендикулярной
основаниям, Найдите
площадь боковой
поверхности усеченного
конуса, если известны
основания и боковая
сторона трапеции.
16 10

14.

Задача.
• Радиус меньшего
основания усеченного
конуса равен 5, высота
равна 6, а расстояние
от центра меньшего
основания до
окружности большего
основания равно 10.
Найдите площадь
боковых поверхностей
усеченного и полного
конусов.

15.

Решение:
Достроим
усеченный конус до
полного и проведем
осевое сечение.

16.

Решение:
1) Вычислим радиус большего основания.
ОО1С:
d =H +R
2
2
2
R
=
d
−
H
=
10
−
6
=
8
2
2
2
2

17.

Решение:
2) Найдем боковую сторону трапеции –
образующую усеченного конуса.
ВКС:
СК
=R
−r=3
ВС
=
ВК
+
СК
2
2
2
l
=
H
+
CK
=
6
+
3
=
3
5
2
2
2
2

18.

Решение:
3) Используя подобие треугольников, найдем
образующую полного конуса.
SC = L
SO1C ~ BKC
SC O
1C
=
BC KC
L 8
=
3 5 3
L =8 5

19.

Решение:
4) Подставим найденные значения в формулы
для площадей боковой поверхности полного и
усеченного конусов.
L =8 5
l =3 5
(
)
S=
RL
=
64
5
(
)
S
=
R
+
r
l
=
39
5
усеч
полн

20.

Формула объема усеченного конуса.
• Объем усеченного конуса
равен сумме объемов трех
конусов, имеющих
одинаковую высоту с
усеченным конусом, а
основаниями: один –
нижнее основание этого
конуса, другой – верхнее, а
третий – круг, радиус
которого есть среднее
геометрическое между
радиусами верхнего и
1 2 2
нижнего оснований.
V
=H
R
+
r+
Rr
(
3
)

21.

Доказательство:
Поместим на верхнем
основании усеченного
конуса малый конус,
дополняющий его до
полного и рассмотрим
объем его как разность
объемов двух конусов.
1
2 1
2
V
=
V
−
V
=
R
x
−
r
h
усеч
.
кон
полн
доп
3 3

22.

Доказательство:
Вычислим высоту полного конуса из подобия
треугольников.
SO1 B ~ AKB
x
H
=
R R−r
R
x=H
R−r

23.

Доказательство:
SOA ~ SO1 B
h r
=
x R
12
rh 2
2
3
V
rh r r r
доп 3
=
= 2 = 2 =3
1 2 R
V
x
R
R
R
полн
R
x
3
Объемы полного и дополнительного конусов
относятся как кубы радиусов оснований.

24.

Доказательство:
Вычтем из объема большого конуса объем
3
малого конуса.
r
V
=
V
−
V
=
V
−
V
=
усеч
полн
доп
полн
3по
R
3
1 2 r
=
R
x
1
− 3 =
3 R
2
3
3
1R
HR
R
−
r
=
=
3
3R
−
r
R
2
2
)
(
)
1(
R
−
r
R
+
Rr
+
r
=
H
=
3
R
−
r
1 2
2
(R+
=
H
Rr
+
r)
3

25.

?
Найдите объем
усеченного
конуса, если
известны его
высота и радиусы
оснований.
149π

26.

Подобные цилиндры и конусы.
• Подобные цилиндры
или конусы можно
рассматривать как
тела, полученные от
вращения подобных
прямоугольников или
прямоугольных
треугольников.

27.

Сечение, параллельное основанию конуса,
отсекает от него малый конус, подобный
большому.
r h l
= =
R H L
3
3
V
r
h
доп
.
= 3= 3
V
R H
полн
.
S
2
rlr h
бок
.
доп
= =
=2
2
S
2
RL
RH
бок
.
полн
2
2

28.

?
В цилиндре
проведено сечение,
параллельное
основанию. Будет ли
малый цилиндр,
который отсекается
этим сечением,
подобен большому?

29.

Площади боковых
поверхностей
подобных
цилиндров и конусов
относятся как
квадраты радиусов
или высот, а объемы
– как кубы радиусов
или высот.
2
2
s r
h
= 2= 2
S R H
3
3
v r h
= 3= 3
V R H

30.

?
В конусе, высота
которого известна,
проведено сечение,
параллельное
основанию. Известно
также соотношение
объемов малого и
большого конусов. На
каком расстоянии от
основания находится
сечение?
2

31.

Радиусы оснований
усеченного конуса
относятся как 2:3.
Высота конуса
разделена на три
равные части, и
через точки
деления проведены
плоскости,
параллельные
основаниям.
Найти, в каком
отношении
разделился объем
усеченного конуса.
Задача.

32.

Решение:
Зная, что радиусы оснований конуса
относятся как два к трем, обозначим радиусы
как 2а и 3а и рассмотрим осевое сечение
конуса.

33.

Решение:
1) Используя подобие, найдем радиусы
проведенных сечений.
СН
3
а
−
2
а
=
а
4=
1
а
Н
В
2
2=СН
4=
3
3
2
2
а
Н
В
3
3=СН
4=
3
3
a7
R
2
a
+ =a
1=
33
2
a8
R
2
a
+ =a
2=
3 3

34.

Решение:
2) Достроив усеченный конус до полного,
найдем, какую часть от полного конуса
составляют меньшие конусы.
V – объем наибольшего конуса
3
3
3
V
)
2
a
2 6
(SO
) (
= 3=3=3
V (
) 39
3
a
1
3
7
a
3
V
7
3
(SO)
=
=3
3
V
(3a) 9
3
8
a
3
V
8
3
(SO)
=
=3
3
V
(3a) 9
2
3

35.

Решение:
3) Определим, какую часть от объема полного
конуса составляют усеченные конусы,
расположенные между соседними сечениями
и найдем отношение объемов этих конусов.
3 3
7
−
612
V
=
V
−
V
=
V
=
V
(
)
(
)
1
SO
SO
3
3
9 9
3 3
8
−
7 16
V
=
V
−
V
=
V
=
V
(
)
(
)
2
SO
SO
3
3
9 9
3 3
9
−
8 21
V
=
V
−
V
=3 V
=
V
(
)
3
SO
3
9
9
Ответ:
V1 :V2 :V3 = 127 : 168 : 217
2
3
1
2
3