14 КЧ 1 часть

1.

Комплексные числа
Часть 1

2. Определение комплексного числа

Комплексным числом называется упорядоченная
пара вещественных чисел.
z = (a, b ) a, b R
a = Re z
b = Im z
вещественная часть числа z
C
множество всех комплексных
чисел
мнимая часть числа z
Im
b
z1 = (a1 , b1 ) z 2 = (a2 , b2 )
def a = a
1
2
z1 = z 2
z = (a, 0) = a R
b1 = b2
Раздел 6. Комплексные числа и многочлены
z = (a, b )
a
Re
2

3. Сложение и умножение комплексных чисел

z1 = (a1 , b1 )
z2 = (a2 , b2 )
def
z1 + z 2 = (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 )
def
z1 z 2 = (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1b2 + a2b1 )
Пример
z = (0, 1)
z = (0, 1) (0, 1) = (0 0 − 1 1, 0 1 + 0 1) =
= (− 1, 0 ) = −1
z = (0, b ), b 0
чисто мнимое число
z = (0, 1) i мнимая единица
2
Раздел 6. Комплексные числа и многочлены
3

4. Алгебраическая форма комплексного числа. Сопряженные комплексные числа

Im
b
z = (a, b ) = a + bi
z = (a, b ) z = (a, − b ) = a − bi
комплексно-сопряженное число
z = a +b
2
z + z = 2 Re z R
2
z z = z R
z=z
z = (a, − b )
z = z z R
a
−b
2
Re
Раздел 6. Комплексные числа и многочлены
4

5. Действия с комплексными числами в алгебраической форме

i = −1
z1 = 2 + 3i z 2 = −3 + 5i
z1 + 2 z 2 = ? z 2 = ?
z
1
z1 z 2 = ? z1 z 2 = ?
=?
z2
z1 + 2 z 2 = 2 + 3i + 2(− 3 + 5i ) = − 4 + 13i
2
2
z 2 = (− 3) + 5 = 34
2
z1 z2 = (2 + 3i )(− 3 + 5i ) = −6 + 10i − 9i + 15i =
= −21 +