Комплексные числа

1.

2.

Определение
Комплексным числом называется
выражение вида
z a bi
где a и b – действительные числа,
а i - символ, называемый мнимой
единицей, где
i 1
2
Множество комплексных чисел обозначают буквой C.

3.

Число a называется действительной
частью комплексного числа z.
Пишут: a = Re(z)
Число b называется мнимой
частью комплексного числа z.
Пишут: b = Im(z)

4.

Комплексные числа
z1 a1 b1i
z2 a2 b2i
называются равными, если равны их
действительные и мнимые части:
Re( z1 ) Re( z2 ) a1 a2
z1 z2
Im( z1 ) Im( z2 ) b1 b2

5.

Комплексные числа вида a + bi и -a – bi
называются противоположными
Комплексные числа
z a bi
z a bi
называются взаимно - сопряжёнными

6.

1
Сумма (разность) комплексных чисел:
z1 z2 a1 a2 (b1 b2 )i

7.

2
Произведение комплексных чисел:
z1 z 2 (a1 b1i ) (a2 b2i )
a1 a2 a1 b2i a2 b1i b1 b2
(a1 a2 b1 b2 ) (a1 b2 a2 b1 )i
Итак:
z1 z2 (a1 a2 b1 b2 ) (a1 b2 a2 b1 )i

8.

3
Частное комплексных чисел:
Чтобы выполнить деление комплексных чисел,
надо и числитель, и знаменатель дроби
умножить на число, сопряжённое знаменателю.

9.

3
z1 a1 b1i a1 b1i a2 b2i
z 2 a2 b2i a2 b2i a2 b2i
(a1 a2 b1 b2 ) (a2 b1 a1 b2 )i
2
2
a2 b2
Итак:
z1 (a1 a2 b1 b2 ) (a2 b1 a1 b2 )i
2
2
z2
a2 b2

10.

Найти сумму, разность, произведение
и частное комплексных чисел:
z1 12 5i
z2 3 4i

11.

z1 z2 12 5i 3 4i 15 i
z1 z2 12 5i (3 4i) 9 9i
z1 z2 (12 5i) (3 4i) 36 15i 48i 20
56 33i
z1 12 5i 12 5i 3 4i
z2 3 4i
3 4i 3 4i
36 15i 48i 20 16 63i
0,64 2,52i
9 16
25

12.

Геометрическая интерпретация
комплексных чисел
Если для изображения действительных
чисел
используются
прямой,
то
для
точки
числовой
изображения
комплексных чисел используются точки
координатной плоскости ХОУ.

13.

По оси абсцисс откладывается
действительная часть комплексного
числа Re (z), а по оси ординат –
мнимая Im (z, поэтому ось х называется
действительной осью, а ось у – мнимой.
y
Im z
b
a
Re z
x

14.

Модуль комплексного числа

15.

Спасибо за работу!