Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

1.

РАЗДЕЛ I
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)
ЛЕКЦИЯ 2
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

2.

Определители
низших
порядков
Определителем первого порядка матрицы
A = (a11)
называется число
a11 :
A = a11.
Пример.
A = (−5),
A = −5.

3.

Определителем второго порядка матрицы
a11 a12
A =
a21 a22
называется число, равное разности произведений
элементов главной диагонали и побочной:
a11
A =
a21
a12
= a11 a22 − a21 a12 .
a22
4 − 5
Пример.
,
A =
3 − 6
4 −5
= 4(−6) − (−5)3 = −9.
A =
3 −6

4.

Определителем третьего порядка матрицы
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a
a
a
32
33
31
называется число, определяемое равенством
+
a
-a
a11 12 a13
a11 12 a13
a11 a12 a13
a21 a22 a23 A = a21 a22 a23 = a21 a22 a23
a31 a32 a33
a31 a32 a33
a31 a32 a33
a22 a23
a21 a23
a21 a22
= a11
− a12
+ a13
=
a32 a33
a31 a33
a31 a32
= a11 a22 a33 + a31 a12 a23 + a13 a21 a32 −
− a31 a22 a13 − a33 a21 a12 − a11 a32 a23.

5.

Пример.
A =
3 −1 1
A = 5 − 4 8
7 − 6 2
3 −1
5 −4
7 −6
1
8 = 3 (−4) 2 + 7 (−1) 8 +
2
+ 1 5 (−6) − 1 (−4) 7 − 2 5 (−1) −
− 3 (−6) 8 = 72

6.

Определители высших порядков
Минором M ij элемента aij называется
определитель, полученный из данного
вычёркиванием строки и столбца, на пересечении
которых стоит данный элемент.
Пример. Найти минор элемента a21 = 2
из определителя
=
M 21 =
3 −1
2
1
1 −2
−1 3
−2 1
3
2.
1
= 5

7.

Алгебраическим дополнением
элемента
a
A
ij
называется его минор со знаком
«+», если ij
сумма
номеров строки и столбца,
i + j которых стоит элемент, есть число
на пересечении
чётное, и со знаком «-», если это число
нечётное:
i+ j
Aij = (−1)
M ij .
Пример. Найти алгебраические дополнения
a21, a33 , a32 определителя
элементов
=
3 −1
2
1
1 −2
3
2.
1

8.

Определителем
n-ного
a11 a12
a21 a22
A=
... ...
a a
n1 n 2
порядка матрицы
... a1 n
... a2 n
... ...
... an n
называется число, определяемое равенством
a11 a12
a21 a22
A =
... ...
an1 an 2
... a1n
n
... a2 n
= a1 j A1 j
... ...
j =1
... ann
(формула разложения определителя
по элементам первой строки).

9.

Свойства определителя
1. При перестановке двух параллельных рядов
определитель меняет знак.
2. Определитель равен нулю, если все элементы
какого-либо ряда определителя равны нулю.
3. Общий множитель ряда определителя можно
вынести за знак определителя.
4. Определитель с параллельными пропорциональными
(одинаковыми) рядами равен нулю.
5. Если элементы ряда определителя есть суммы
двух слагаемых, то определитель можно разложить
на сумму двух соответствующих определителей.
6. Определитель не изменится, если к элементам
ряда прибавить соответствующие элементы
параллельного ряда, умноженные на любое число.
7. Определитель равен сумме произведений элементов
ряда определителя на свои алгебраические дополнения.
8. Определители данной и транспонированной матриц
равны.
9. Определитель треугольной матрицы равен
произведению элементов главной диагонали.

10.

Пример. Вычислить минор и алгебраическое
дополнение элемента а23
=
0 −1 3
2
1 −1 .
1 0
1
Пример. Вычислить
1
2
3
4
определитель
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
.
2
3