2 Определители_ПИЭ

1. Лекция 2 Определитель матрицы. Обратная матрица. Матричные уравнения

Любой квадратной матрице А
n-го порядка можно поставить в
соответствие выражение,
которое называется
определителем (детерминантом)
матрицы А – det A или |A| или Δ

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го И 3-го ПОРЯДКОВ

О п р е д е л е н и е 1. Определителем
квадратной матрицы А второго порядка
или определителем второго порядка
называется число, обозначаемое:
a11
a12
a21
a22
(или |A|)
и вычисляемое по формуле:
a11
a12
a 21
a 22
а11 а 22 а12 а 21
(1)

3. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го И 3-го ПОРЯДКОВ

О п р е д е л е н и е 2. Определителем квадратной
матрицы А третьего порядка (или
определителем третьего порядка) называется
число, обозначаемое:
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
(или |A|)
и вычисляемое по формуле:
a11 a12
a 21 a 22
a31 a32
a13
a 22
a 23 a11
a32
a33
a 23
a 21 a 23
a 21 a 22
(2)
a12
a13
a33
a31 a33
a31 a32

4. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го И 3-го ПОРЯДКОВ

З а м е ч а н и е 1. Определитель третьего порядка может
быть вычислен не только по формуле (2), называемой
разложением определителя по элементам первой
строки.
1) Для вычисления определителя третьего порядка можно
воспользоваться правилом разложения определителя по
элементам л ю б о й строки (столбца) матрицы А.
При этом элементы выбранной строки (столбца) берут со
знаками, указанными в следующей схеме:
то есть знак «+» ставят у тех элементов аij , для которых сумма
индексов i+j есть число четное, «–» – сумма индексов i+j есть
число нечетное.

5. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го И 3-го ПОРЯДКОВ

Например, выбрав для разложения вторую строку
определителя, получим формулу разложения
определителя третьего порядка по элементам
второй строки:
a11 a12 a13
a12 a13
a11 a13
a11 a12
a 21 a 22 a 23 a 21
a 22
a 23
.
a32 a33
a31 a33
a31 a32
a31 a32 a33

6. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го И 3-го ПОРЯДКОВ

2) Для вычисления определителя третьего порядка можно
воспользоваться правилом треугольников:
где выделенные элементы нужно перемножить.

7.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го И 3-го ПОРЯДКОВ

8. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 2. Свойства определителя

1. Определитель не меняется при
транспонировании матрицы;
2. Если все элементы некоторой строки
(столбца) равны нулю, то определитель
также равен нулю;
3. Определитель с двумя одинаковыми
строками (столбцами) равен нулю;
4. Общий множитель элементов какойлибо строки (столбца) определителя
можно выносить за знак определителя;

9. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 2. Свойства определителя

5. При перестановке строк (столбцов)
определитель меняет знак;
6. Если к элементам некоторой строки
(столбца) прибавить соответствующие
элементы другой строки (столбца),
умноженные на одно и то же число, то
определитель не изменится;
7. Определитель, в котором все элементы
одной из строк являются суммами двух
слагаемых, равен сумме двух
определителей.

10. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Примеры

Вычислить определитель:
1 2
6
4 3 1
2 2 5
Р е ш е н и е.
Способ I (разложение по элементам первой строки):
1 2
6
3 1
4 1
4 3
4 3 1 1
2
6
2 5
2 5
2 2
2 2 5
3 5 2 1 2 4 5 2 1 6 4 2 2 3
1 5 2 2 2 0 2 6 8 6 1 3 4 4 8 4 1 1 5 .

11. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Примеры

П р и м е р . Вычислить определитель
1 2 3
0 7
4
5 3 3
Р е ш е н и е. Способ I (правило треугольников):
1 2 3
0 7
4 1 7 3 2 4 5 0 3 3 5 7 3
5 3 3
3 4 1 0 2 3 2 1 4 0 1 0 5 1 2 1 7 8

12. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 3. Определитель матрицы n-го порядка

Определение. Минором некоторого элемента
a ij матрицы A порядка n называется
определитель n 1 порядка,
соответствующий матрице, которая
получается из исходной матрицы A в
результате вычеркивания той строки и того
столбца, на пересечении которых стоит
элемент a ij, т.е. i строки и j го столбца.
Минор элемента a ij обозначается M ij.

13. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 3. Определитель матрицы n-го порядка

n -го порядка,
Определение. Определителем
соответствующим матрице
а11 а12
a21 a22
A
an1 an 2
называется число, равное
a11 M 11 a12 M 12 ... ( 1)
и обозначаемое
n 1
а1n
a2 n
ann
n
a1 n M 1 n 1
j 1
det A , либо A
1 j
a1 j M 1 j

14.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
3. Определитель матрицы n-го порядка
det A A
а11
a21
а12
a22
а1n
a2 n
n
1
j 1
a n1
an 2
1 j
a1 j M 1 j .
ann
Эта формула называется разложением определителя
го порядка по первой строке.
n

15.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
3. Определитель матрицы n-го порядка
Теорема 1. Каков бы ни был номер строки
i
i 1, 2,...n для определителя матрицы
справедлива формула
A 1 a i1 M i1 1
i 1
n
1
j 1
i j
i 2
ai 2 M i 2 ... ( 1) i n ain M in
aij M ij .
Эта формула называется разложением определителя
го порядка по i ой строке.
n

16.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
3. Определитель матрицы n-го порядка
Теорема 2. Каков бы ни был номер столбца
j 1, 2,...n для определителя матрицы
j
справедлива формула
A 1
1 j
n
1
i 1
i j
a1 j M 1 j 1
2 j
a 2 j M 2 j ... ( 1) n j a nj M nj
aij M ij .
Эта формула называется разложением определителя
го порядка по j му столбцу.
n

17. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 3. Определитель матрицы n-го порядка

Определитель
может
быть
вычислен
разложением по элементам его
л ю б о й
строки или столбца.
Замечание. Для определителя используют те
же термины (элементы, строки, столбцы,
главная и побочная диагонали), что и для
соответствующей квадратной матрицы, чей
определитель вычисляется.

18. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 4. Свойства определителя

Определитель треугольной матрицы
a11 a12 ... a1п
0 a
...
a
2п
22
... ... ... ...
0
0
...
a
пп
или
a11
а
21
...
а
п1
0
a 22
...
ап2
... 0
... 0
... ...
... a пп
равен произведению элементов главной диагонали;

19. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 4. Свойства определителя

Определитель произведения квадратных матриц
равен произведению определителей сомножителей.
т.е.
AB A B .
Определение. Алгебраическим дополнением
элемента a ij матрицы A порядка
число, равное Aij 1
i j
n называется
M ij , (i 1, 2,...n,
j 1, 2,...n).
Используя алгебраическое дополнение, имеем
n
A aij Aij .
j 1

20. 5. Обратная матрица

Пусть
A квадратная матрица n го, E
единичная матрица того же порядка.
Определение. Матрица
B
называется обратной
для квадратной матрицы , если
AB BA E.
Замечание. Обратная матрица B такого же порядка,
что и матрица
A
.
Обратная матрица для матрицы A обозначается A
AA 1 A 1 A E.
1
.

21. 5. Обратная матрица

Определение. Матрица называется невырожденной,
если определитель этой матрицы отличен от нуля:
A 0,
в противном случае матрица называется
вырожденной.
Теорема. Если матрица
A имеет обратную, то эта
матрица является невырожденной:
1
A
A
1
A 0.

22. 5. Обратная матрица

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет
обратную, причем
A11
A12
1
1
A
A
A1n
A21
A22
A2 n
An1
An 2
,
Ann
где Aij алгебраическое дополнения элемента
матрицы A.
a ij

23. 5. Обратная матрица

Обратную матрицу можно вычислить по
следующей формуле
T
ij
где A
A
,
алгебраическое дополнения элемента a ij
в определителе
A.
A 1
AijT
T
A , транспонированной к матрице

24. Примеры

Пример 1. Найти матрицу, обратную данной:
3 1 0
A 2 1 1
2 1 4
Решение. Найдем определитель матрицы.
3
A 2
2
1 0
1
0
1 1
1 4
1 0
1
1 1
1 1 4
1 2
( 1)
1
1
1 4
5

25. Примеры

3 2 2 Найдем алгебраические дополнения
T
AT 1 1 1
матрицы A .
0 1 4
1 1
1 2
A11 ( 1) (4 1) 5; A12 ( 1) ( 4 0) 4;
1 3
2 1
2 2
2 3
A13 ( 1) ( 1 0) 1; A21 ( 1) ( 8 2) 10;
A22 ( 1)
(12 0) 12; A23 ( 1) (3 0) 3;
3 1
3 2
A31 ( 1) (2 2) 0; A32 ( 1) ( 3 2) 1;
A33 ( 1)3 3 (3 2) 1.

26. Примеры

Составляем обратную матрицу
A11 5; A12 4; A13 1; A21 10;
A22 12; A23 3; A31 0; A32 1;
A33 1.
5 4 1
1 4 / 5 1/ 5
1
1
1
A 10 12 3 ; A 2 12 / 5 3/ 5 .
5
0 1/ 5 1/ 5
0
1
1

27. Примеры

Проведем проверку, умножив
3 1 0
A 2 1 1
2 1 4
A на
A 1.
1 4 / 5 1/ 5
1
A 2 12 / 5 3/ 5 .
0 1/ 5 1/ 5
1 0 0
A A 1 0 1 0 E.
0 0 1

28. 6. Решение матричных уравнений

Теорема. Если
A 0 и A, B матрицы порядка, n
то решение матричных уравнений
A X B и
X A B,
где X квадратная матрица порядка n , находится
по соответствующей из формул:
X A 1 B и
X B A 1.

29. 6. Решение матричных уравнений

С 0 ,где A, B, С
матрицы размерностью n n, n m, m m
Теорема. Если
A 0и
соответственно ,то решение матричного уравнения
A X С B,
где X матрица размерности n m, находится по
формуле:
X A 1 B С 1.

30. Примеры

Пример. Решить матричное уравнение
1 2
3 5
, B
.
A
3 4
5 9
A X B, где
Решение. Найдем A 1 .
1 3
1 4 2
1
, A
A 4 6 2; A
2 3 1
2 4
T
1
X A B,
1
1 4 2 2
A
2 3 1 1,5 0,5
1
1 3 5 1 1
2
X
1,5 0,5 5 9 2 3