11 класс

1. Моделирование

1
Моделирование
§ 6. Модели и моделирование
§ 7. Системный подход в моделировании
§ 8. Этапы моделирования
§ 9. Моделирование движения
§ 10. Математические модели в биологии
§ 11. Системы массового обслуживания
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

2. Моделирование

2
Моделирование
§ 6. Модели и моделирование
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

3. Что такое модель?

3
Моделирование, 11 класс
Что такое модель?
модели чего?
автомобиль
!
Земля
кристаллическая
решётка
корабль
Моделей без оригинала не существует!
дом
оригиналы
Оригиналы:
• объекты (самолет, дом, ядро атома, галактика)
• процессы (изменение климата, развитие экономики)
• явления природы (землетрясения, цунами)
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

4. Что такое модель?

4
Моделирование, 11 класс
Что такое модель?
? Зачем нужны модели?
Нужно решить задачу, связанную с оригиналом, но:
• оригинал не существует
- древний Египет
- последствия ядерной войны (Н.Н. Моисеев, 1966)
• исследование оригинала дорого или опасно
- управление ядерным реактором (Чернобыль, 1986)
- испытание нового скафандра для космонавтов
- разработка нового самолета или корабля
• оригинал сложно исследовать
- Солнечная система, галактика (большие размеры)
- атом, нейтрон (маленькие размеры)
- процессы в двигателе внутреннего сгорания (очень быстрые)
- геологические явления (очень медленные)
• интересуют только отдельные свойства
- проверка краски для фюзеляжа самолета
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

5. Модели и оригиналы

5
Моделирование, 11 класс
Модели и оригиналы
оригинал
задача
модели человека
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
модель
материальная точка
http://kpolyakov.spb.ru

6. Модели и моделирование

6
Моделирование, 11 класс
Модели и моделирование
Модель – это объект, который обладает существенными
свойствами другого объекта, процесса или явления
(оригинала) и используется вместо него.
Моделирование – это создание и исследование моделей
с целью изучения оригиналов.
Задачи моделирования:
• исследование оригинала
• анализ («что будет, если …»)
• синтез («как сделать, чтобы …»)
• оптимизация («как сделать лучше всего …»)
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

7. Виды моделей (по природе)

7
Моделирование, 11 класс
Виды моделей (по природе)
модели
материальные
информационные
знаковые
вербальные
графические
табличные
математические
логические
специальные
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

8. Виды моделей (по фактору времени)

8
Моделирование, 11 класс
Виды моделей (по фактору времени)
• статические – описывают оригинал в заданный момент
времени
▪ силы, действующие на тело в состоянии покоя
▪ результаты осмотра врача
▪ фотография
• динамические
▪ модель движения тела
▪ явления природы (молния, землетрясение, цунами)
▪ история болезни
дискретные модели описывают
▪ видеозапись события
поведение только в отдельные
▪ …
моменты времени
непрерывные модели – в любой
момент времени
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

9. Виды моделей (по характеру связей)

9
Моделирование, 11 класс
Виды моделей (по характеру связей)
• детерминированные – при одинаковых исходных
данных всегда получается тот же результат
▪ расчёт по формулам
▪ движение корабля на спокойной воде
▪ …
• вероятностные – учитывают случайность событий
▪ броуновское движение частиц
▪ полета самолёта с учетом ветра
▪ движения корабля на волнении
▪ поведение человека
▪ …
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

10. Имитационные модели

10
Моделирование, 11 класс
Имитационные модели
• нельзя заранее вычислить или предсказать поведение
системы, но можно имитировать её реакцию на внешние
воздействия
• максимальный учет всех факторов
• только численные результаты
!
Задача – найти лучшее решение методом
проб и ошибок (многократные эксперименты)!
Примеры:
• испытания лекарств на мышах, обезьянах, …
• математическое моделирование биологических систем
• модели систем массового обслуживания
• модели процесса обучения
• кросс-программирование
•…
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

11. Игровые модели

11
Моделирование, 11 класс
Игровые модели
Игровые модели учитывают действия противников.
• экономические ситуации
• военные действия
• спортивные игры
• тренинги персонала
!
Задача – найти лучший вариант действий в
самом худшем случае!
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

12. Адекватность

12
Моделирование, 11 класс
Адекватность
Адекватность – это совпадение существенных свойств
модели и оригинала в данной задаче.
• результаты моделирования согласуются с выводами
теории (законы сохранения и т.п.)
• … подтверждаются экспериментом ( 10%)
!
Адекватность модели можно доказать только
экспериментом!
Модель всегда отличается от оригинала
!
Любая модель адекватна только при
определенных условиях!
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

13. Иерархические модели

13
Моделирование, 11 класс
Иерархические модели
директор
Уровень 1
главный инженер
Уровень 2
Уровень 3
Петров
Иванов
Фомин
главный бухгалтер
Алексеева
Сидорова
Хищные
Псообразные
Псовые
Енотовые
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Медвежьи
Кошкообразные
Кошачьи
Гиеновые
Мангустовые
http://kpolyakov.spb.ru

14. Иерархические модели

14
Моделирование, 11 класс
Иерархические модели
Документы
Тексты
Доходы.doc
Расходы.odt
Фотографии
Отдых.txt
Папа.jpg
Мама.gif
*
(a+3)*5-2*b
+
a
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
*
5
2
b
3
http://kpolyakov.spb.ru

15. Сетевые модели

15
Моделирование, 11 класс
Сетевые модели
Сетевое планирование
1
2
начало
2
А
4
Б
2
2
Г
1
Д
конец
6
В
Семантические сети
щука
птица
это
это
рыба
это
животное
это
гусь
умеет
плавать
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
крылья
умеет
это
млекопитающее
это
живет в
вода
имеет
живет в
кит
летать
дышит
лёгкие
умеет
http://kpolyakov.spb.ru

16. Игровые стратегии

16
Моделирование, 11 класс
Игровые стратегии
? Какая задача?
Задача: найти стратегию (алгоритм игры), который
позволит получить лучший результат, если соперники
играют безошибочно.
Игры с полной информацией: можно определить, кто
должен выиграть, по начальной позиции.
Позиции:
• проигрышные – все возможные ходы ведут в
выигрышные позиции
• выигрышные – хотя бы один ход ведёт в
проигрышную позицию
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

17. Моделирование

17
Моделирование
§ 8. Этапы моделирования
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

18. I. Постановка задачи

18
Моделирование, 11 класс
I. Постановка задачи
• исследование оригинала
изучение сущности объекта или явления
• анализ («что будет, если …»)
научиться прогнозировать последствий при различных
воздействиях на оригинал
• синтез («как сделать, чтобы …»)
научиться управлять оригиналом, оказывая на него
воздействия
• оптимизация («как сделать лучше»)
выбор наилучшего решения в заданных условиях
!
Ошибки при постановке задачи приводят к
наиболее тяжелым последствиям!
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

19. I. Постановка задачи

19
Моделирование, 11 класс
I. Постановка задачи
Хорошо поставленная задача:
• описаны все связи между исходными данными и
результатом
• известны все исходные данные
• решение существует
• задача имеет единственное решение
Примеры плохо поставленных задач:
• Уроки в школе начинаются в 830. В 1000 к школе подъехал
красный автомобиль. Определите, когда Вася выйдет
играть в футбол?
• Вася бросает мяч со скоростью 12 м/с. Где мяч впервые
ударится о землю?
• Решить уравнение sin x = 4 (нет решений).
• Найти функцию, которая проходит через точки (0,1) и (1,0)
(бесконечно много решений).
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

20. I. Постановка задачи (пример)

20
Моделирование, 11 класс
I. Постановка задачи (пример)
Спортсмен Вася в синей кепке бросает белый мяч со
скоростью 12 м/с. Под каким углом к горизонту ему нужно
бросить мяч, чтобы попасть в желтую мишень?
? Хорошо поставлена?
Допущения:
Мишень расположена на высоте 4 м на расстоянии 10
м от Васи. В момент броска мяч находится на высоте
2 м от земли.
? Всегда ли есть решение?
? Решение единственно?
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

21. II. Разработка модели

21
Моделирование, 11 класс
II. Разработка модели
Спортсмен Вася в синей кепке бросает белый мяч со
скоростью 12 м/с. Под каким углом к горизонту ему нужно
бросить мяч, чтобы попасть в желтую мишень? Мишень
расположена на высоте 4 м на расстоянии 10 м от Васи.
В момент броска мяч находится на высоте 2 м от земли.
1) Определить существенные исходные данные.
• мяч и мишень — материальные точки
• мишень неподвижна
• сопротивление воздуха не учитывается.
2) Выбор типа модели.
!
Можно использовать несколько моделей!
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

22. II. Разработка модели

22
,Моделирование, 11 класс
II. Разработка модели
Графическая модель
y
v0
H
x
S
2м
4м
3) Формальная (математическая) модель
gt 2
x = v0 t cos , y = v0 t sin −
2
Задача: найти t и , такие что x = S , y = H
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

23. Уточнение диапазона углов

23
Моделирование, 11 класс
Уточнение диапазона углов
min = arctg
H
S
H
Диапазон углов для поиска: arctg ...
S 2
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

24. II. Разработка модели

24
Моделирование, 11 класс
II. Разработка модели
4) Алгоритм моделирования
Метод I.
Меняем угол . Для выбранного угла строим
траекторию полета ореха. Если она проходит выше
мишени, уменьшаем угол, если ниже – увеличиваем.
Метод II.
Из первого равенства выражаем время полета:
v0 cos t = S
S
t=
v0 cos
Меняем угол . Для выбранного угла считаем t, а
затем – значение y при этом t. Если оно больше H,
уменьшаем угол, если меньше – увеличиваем.
не надо строить всю траекторию для каждого
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

25. II. Разработка модели

25
Моделирование, 11 класс
II. Разработка модели
5) Компьютерная модель
• программа (Паскаль, Си, …)
• электронные таблицы (Excel, OpenOffice.org Calc)
• среды моделирования (Simulink, VisSim)
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

26. III. Тестирование модели

26
Моделирование, 11 класс
III. Тестирование модели
Тестирование – это проверка модели на простых
исходных данных с известным результатом.
а) тестирование математической модели:
gt
x = v0 t cos , y = v0 t sin −
2
2
• при t = 0 x = 0, y = 0 (в начале координат)
gt 2
• при v0 = 0 x = 0, y = −
(падение вниз)
2
• при = 90 x = 0
• при увеличении t парабола «загибается» вниз
б) тестирование компьютерной модели:
(пробные расчёты в рассмотренных условиях)
? Доказывает ли успешное тестирование
правильность модели?
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

27. IV. Эксперимент с моделью

27
Моделирование, 11 класс
IV. Эксперимент с моделью
Эксперимент – это исследование модели при тех
исходных данных, которые нас интересуют (результат
заранее неизвестен).
1) задаём угол
S
2) находим время t =
v0 cos
3) находим высоту
gt 2
t cos , y = v0 t sin −
2
! Может быть два
решения!
y<H
H
Диапазон углов для поиска: arctg ...
S 2
? Можно ли сразу использовать двоичный поиск?
? Как отделить два решения? построить график y( )
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

28. V. Анализ результатов эксперимента

28
Моделирование, 11 класс
V. Анализ результатов эксперимента
! Необходима проверка на оригинале!
Возможные выводы:
• задача решена, модель адекватна
• необходимо изменить алгоритм или условия
моделирования
• необходимо изменить модель (учесть
дополнительные свойства)
• необходимо изменить постановку задачи
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

29. V. Анализ результатов

29
Моделирование, 11 класс
V. Анализ результатов
• всегда ли Вася сможет попасть в мишень?
• если начальная скорость отличается от заданной?
• если мяч и мишень не считать материальными
точками?
• как сильно влияет сопротивление воздуха?
• если мишень качается?
• и т.д….
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru