Урок 1. Высказывания и логические операции над ними

1. Урок 1

ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

2. ВЫСКАЗЫВАНИЕ

Высказывание – это предложение, о котором можно сказать,
истинно оно или ложно.
Высказывания обычно обозначают строчными латинскими буквами:
a, b, c, …, p, q, r, …, x, y, z
Истинность или ложность высказываний соответственно обозначается
единицей (1) или нулём (0).
Примеры:
a = "А.С. Пушкин родился в 1799
году."
Следовательно: |a| = 1
b = "Два плюс два равно пяти."
Следовательно: |c| = 1
c = "На ноль делить нельзя."
Следовательно: |d| = 0
d = "Зимой воробьи впадают в
Следовательно: |b| = 0

3. ВЫСКАЗЫВАНИЕ

Ещё примеры:
p = "Львы не летают."
Следовательно: |p| = 1
q = "Земля плоская."
Следовательно: |q| = 0
r = "Дважды два будет
три."
Следовательно: |r| = 0
Следовательно: |s| = 1
s = "Семь
чем
Не
все не
предложения
могут быть
высказываниями:
Также,
могут
бытьбольше,
высказываниями
предложения с неопределённостью
один.
" подскажете, как пройти в библиотеку?
или с неполной
информацией:
Вы не
Завтра яПойдем
успешно
сдам экзамен.
в кино!
= 5.
Ночь. Улица. xФонарь.
Аптека.
x > 2.
Это утверждение
ложно.
Информатика – самый важный предмет в школе.

4. ЛОГИЧЕСКОЕ НЕ ( ОТРИЦАНИЕ / ИНВЕРТИРОВАНИЕ / NOT )

Отрицанием
высказывания a называется такое высказывание,
которое будет ложно, если высказывание a истинно, и будет истинно –
если a ложно.
Данной операции соответствует логическая связка «НЕ».
Обозначение: ¬a или a. Читается: "не а".
Примеры:
p = "Бобры не летают."
Следовательно: |p| = 1
p = "Бобры летают."
Следовательно: |p| = 0
r = "Дважды два будет пять."
Следовательно: |r| = 0
r = "Неверно, что дважды два будет
пять."
Следовательно: |r| = 1

5. ЛОГИЧЕСКОЕ НЕ ( ОТРИЦАНИЕ / ИНВЕРТИРОВАНИЕ / NOT )

NOT
a
a
0
1
1
0

6. ЛОГИЧЕСКОЕ НЕ ( ОТРИЦАНИЕ / ИНВЕРТИРОВАНИЕ / NOT )

NOT
1k
+5V
a = "Выключатель
нажат.
"
a = "Выключатель
не
нажат."
a
a
0
1
1
0

7. ЛОГИЧЕСКОЕ НЕ ( ОТРИЦАНИЕ / ИНВЕРТИРОВАНИЕ / NOT )

NOT
1k
+5V
a = "Выключатель
нажат.
"
a = "Выключатель
не
нажат."
a
a
0
1
1
0

8. ЛОГИЧЕСКОЕ НЕ ( ОТРИЦАНИЕ / ИНВЕРТИРОВАНИЕ / NOT )

1k
+5V

9. ЛОГИЧЕСКОЕ НЕ ( ОТРИЦАНИЕ / ИНВЕРТИРОВАНИЕ / NOT )

1k

10. ЛОГИЧЕСКОЕ НЕ ( ОТРИЦАНИЕ / ИНВЕРТИРОВАНИЕ / NOT )

1k

11. ЛОГИЧЕСКОЕ И ( УМНОЖЕНИЕ / КОНЪЮНКЦИЯ / AND )

Конъюнкцией высказываний называется такое
высказывание, которое истинно в том и только том
случае, когда истинны оба исходных высказывания.
Данной операции соответствует логическая связка И.
Обозначение: a & b (или: a ∧ b). Читается "а и бэ".
& ← амперсанд
Примеры:
a = "Я сдал курсовую
работу."
b = "Я сдал зачёт."
a & b = "Я допущен к
экзамену."
Следовательно:
|a| = 1
|b| = 1
|a ∧ b| = 1

12. ЛОГИЧЕСКОЕ И ( УМНОЖЕНИЕ / КОНЪЮНКЦИЯ / AND )

Конъюнкцией высказываний называется такое
высказывание, которое истинно в том и только том
случае, когда истинны оба исходных высказывания.
Данной операции соответствует логическая связка И.
Обозначение: a & b (или: a ∧ b). Читается "а и бэ".
& ← амперсанд
Примеры:
a = "Я сдал курсовую
работу."
b = "Я сдал зачёт."
a & b = "Я допущен к
экзамену."
a
0
0
1
1
AND
b a∧b
0
0
1
0
0
0
1
1
Следовательно:
|a| = 0
|b| = 1
|a ∧ b| = 0

13. ЛОГИЧЕСКОЕ И ( УМНОЖЕНИЕ / КОНЪЮНКЦИЯ / AND )

Пример:
Следовательно:
a = "Рубильник в подъезде
включен.
"
b = "Выключатель
в комнате
|a| = 0
включен.
a & b = "В "комнате горит
свет."
|a ∧ b| = 0
1k
+5V
|b| = 0
a
0
0
1
1
AND
b a∧b
0
0
1
0
0
0
1
1

14. ЛОГИЧЕСКОЕ И ( УМНОЖЕНИЕ / КОНЪЮНКЦИЯ / AND )

Пример:
Следовательно:
a = "Рубильник в подъезде
включен.
"
b = "Выключатель
в комнате
|a| = 1
включен.
a & b = "В "комнате горит
свет."
|a ∧ b| = 0
1k
+5V
|b| = 0
a
0
0
1
1
AND
b a∧b
0
0
1
0
0
0
1
1

15. ЛОГИЧЕСКОЕ И ( УМНОЖЕНИЕ / КОНЪЮНКЦИЯ / AND )

Пример:
Следовательно:
a = "Рубильник в подъезде
включен.
"
b = "Выключатель
в комнате
|a| = 1
включен.
a & b = "В "комнате горит
свет."
|a ∧ b| = 0
1k
+5V
|b| = 0
a
0
0
1
1
AND
b a∧b
0
0
1
0
0
0
1
1

16. ЛОГИЧЕСКОЕ И ( УМНОЖЕНИЕ / КОНЪЮНКЦИЯ / AND )

Пример:
Следовательно:
a = "Рубильник в подъезде
включен.
"
b = "Выключатель
в комнате
|a| = 1
включен.
a & b = "В "комнате горит
свет."
|a ∧ b| = 1
1k
+5V
|b| = 1
a
0
0
1
1
AND
b a∧b
0
0
1
0
0
0
1
1

17. ЛОГИЧЕСКОЕ И ( УМНОЖЕНИЕ / КОНЪЮНКЦИЯ / AND )

Пример:
Следовательно:
a = "Рубильник в подъезде
включен.
"
b = "Выключатель
в комнате
|a| = 1
включен.
a & b = "В "комнате горит
свет."
|a ∧ b| = 1
1k
+5V
|b| = 1
a
0
0
1
1
AND
b a∧b
0
0
1
0
0
0
1
1

18. ЛОГИЧЕСКОЕ И ( УМНОЖЕНИЕ / КОНЪЮНКЦИЯ / AND )

Пример:
Следовательно:
a = "Рубильник в подъезде
включен.
"
b = "Выключатель
в комнате
|a| = 0
включен.
a & b = "В "комнате горит
свет."
|a ∧ b| = 0
1k
+5V
|b| = 1
a
0
0
1
1
AND
b a∧b
0
0
1
0
0
0
1
1

19. ЛОГИЧЕСКОЕ И ( УМНОЖЕНИЕ / КОНЪЮНКЦИЯ / AND )

Пример:
Следовательно:
a = "Рубильник в подъезде
включен.
"
b = "Выключатель
в комнате
|a| = 0
включен.
a & b = "В "комнате горит
свет."
|a ∧ b| = 0
1k
+5V
|b| = 1
a
0
0
1
1
AND
b a∧b
0
0
1
0
0
0
1
1

20. ЛОГИЧЕСКОЕ И ( УМНОЖЕНИЕ / КОНЪЮНКЦИЯ / AND )

Пример:
Следовательно:
a = "Рубильник в подъезде
включен.
"
b = "Выключатель
в комнате
|a| = 0
включен.
a & b = "В "комнате горит
свет."
|a ∧ b| = 0
1k
+5V
|b| = 0
a
0
0
1
1
AND
b a∧b
0
0
1
0
0
0
1
1

21. ЛОГИЧЕСКОЕ ИЛИ ( СЛОЖЕНИЕ / ДИЗЪЮНКЦИЯ / OR )

Дизъюнкцией высказываний называется такое
высказывание, которое ложно в том и только том
случае, когда ложны оба исходных высказывания.
Этой операции соответствует логическая связка ИЛИ.
Обозначение: || или ∨.
Примеры:
a = "Я ответил на 1-й
вопрос.
"
b = "Я ответил
на 2-й
вопрос."
a || b = "Я сдал экзамен."
a
0
0
1
1
OR
b a∨b
0
0
1
1
0
1
1
1
Следовательно:
|a| = 1
|b| = 1
|a ∨ b| = 1

22. ЛОГИЧЕСКОЕ ИЛИ ( СЛОЖЕНИЕ / ДИЗЪЮНКЦИЯ / OR )

Пример:
a = "Первый блок питания
работает.
b = "Второй" блок питания
Следовательно:
|a| = 0
|b| = 0
работает."
a || b = "Сервер работает."
+5V
~ 0.1
+5V
~ 0.1
|a ∨ b| = 0
1k
a
0
0
1
1
OR
b a∨b
0
0
1
1
0
1
1
1

23. ЛОГИЧЕСКОЕ ИЛИ ( СЛОЖЕНИЕ / ДИЗЪЮНКЦИЯ / OR )

Пример:
a = "Первый блок питания
работает.
b = "Второй" блок питания
Следовательно:
|a| = 1
|b| = 0
работает."
a || b = "Сервер работает."
+5V
~ 0.1
+5V
~ 0.1
|a ∨ b| = 1
1k
a
0
0
1
1
OR
b a∨b
0
0
1
1
0
1
1
1

24. ЛОГИЧЕСКОЕ ИЛИ ( СЛОЖЕНИЕ / ДИЗЪЮНКЦИЯ / OR )

Пример:
a = "Первый блок питания
работает.
b = "Второй" блок питания
Следовательно:
|a| = 1
|b| = 1
работает."
a || b = "Сервер работает."
+5V
~ 0.1
+5V
~ 0.1
|a ∨ b| = 1
1k
a
0
0
1
1
OR
b a∨b
0
0
1
1
0
1
1
1

25. ЛОГИЧЕСКОЕ ИЛИ ( СЛОЖЕНИЕ / ДИЗЪЮНКЦИЯ / OR )

Пример:
a = "Первый блок питания
работает.
b = "Второй" блок питания
Следовательно:
|a| = 0
|b| = 1
работает."
a || b = "Сервер работает."
+5V
~ 0.1
+5V
~ 0.1
|a ∨ b| = 1
1k
a
0
0
1
1
OR
b a∨b
0
0
1
1
0
1
1
1

26. ЛОГИЧЕСКОЕ ИЛИ ( СЛОЖЕНИЕ / ДИЗЪЮНКЦИЯ / OR )

Пример:
a = "Первый блок питания
работает.
b = "Второй" блок питания
Следовательно:
|a| = 0
|b| = 0
работает."
a || b = "Сервер работает."
+5V
~ 0.1
+5V
~ 0.1
|a ∨ b| = 0
1k
a
0
0
1
1
OR
b a∨b
0
0
1
1
0
1
1
1

27. ЛОГИЧЕСКОЕ ИЛИ ( СЛОЖЕНИЕ / ДИЗЪЮНКЦИЯ / OR )

Пример:
a = "Первый блок питания
работает.
b = "Второй" блок питания
Следовательно:
|a| = 0
|b| = 0
работает."
a || b = "Сервер работает."
|a ∨ b| = 0
1k
a
0
0
1
1
OR
b a∨b
0
0
1
1
0
1
1
1

28. ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ ( НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ / СТРОГАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ / XOR )

Исключающим ИЛИ двух высказываний называется
такое высказывание, которое истинно в том и только
том случае, когда истинно лишь одно из двух
высказываний.
Этой операции соответствует логическая связка XOR.
Обозначение: a ⊕ b или a ⊻ b.
Примеры:
a = "В конце года я сдал
экзамен.
" года я не сдал
b = "В конце
экзамен.
a ⊕ b = "Я" завершил учебный
год."
a
0
0
1
1
XOR
b a⊻b
0
0
1
1
0
1
1
0
Следовательно:
|a| = 1
|b| = 0
|a ⊻ b| = 1

29. ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ ( НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ / СТРОГАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ / XOR )

Следовательно:
Пример:
a = "Я выиграл в лотерею."
|a| = 0
b = "Я проиграл в лотерею."
|b| = 0
a ⊕ b = "Я попытал удачу."
|a ∨ b| = 0
1k
+5V
a
0
0
1
1
XOR
b a⊻b
0
0
1
1
0
1
1
0

30. ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ ( НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ / СТРОГАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ / XOR )

Следовательно:
Пример:
a = "Я выиграл в лотерею."
|a| = 1
b = "Я проиграл в лотерею."
|b| = 0
a ⊕ b = "Я попытал удачу."
|a ∨ b| = 1
1k
+5V
a
0
0
1
1
XOR
b a⊻b
0
0
1
1
0
1
1
0

31. ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ ( НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ / СТРОГАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ / XOR )

Следовательно:
Пример:
a = "Я выиграл в лотерею."
|a| = 1
b = "Я проиграл в лотерею."
|b| = 1
a ⊕ b = "Я попытал удачу."
|a ∨ b| = 0
1k
+5V
a
0
0
1
1
XOR
b a⊻b
0
0
1
1
0
1
1
0

32. ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ ( НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ / СТРОГАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ / XOR )

Следовательно:
Пример:
a = "Я выиграл в лотерею."
|a| = 0
b = "Я проиграл в лотерею."
|b| = 1
a ⊕ b = "Я попытал удачу."
|a ∨ b| = 1
1k
+5V
a
0
0
1
1
XOR
b a⊻b
0
0
1
1
0
1
1
0

33. ЗАДАЧИ

1.
Что из нижеперечисленного является высказыванием?
a)
6 - 2 = 4.
b)
Зайдите ко мне попозже.
c)
Кто такой Пифагор?
d)
Шесть плюс три равно семь.
e)
Аристотель умнее Эйнштейна.
f)
Периметр прямоугольника с длинами a и b равен a * b.
g)
Эта комната самая красивая.
h)
Five is less, than three.
i)
10 + 2.

34. ЗАДАЧИ

2.
Найдите значения выражения: ((0 & 0) ∨ 0) & (1 ∨ 1).
3.
Постройте в симуляторе схему выражения: ¬a & ¬b. Придумайте
подходящее высказывание для этого выражения.
4.
Запишите логической формулой следующие высказывания:
a)
Прямая пересекает плоскость, либо ей параллельна.
b)
Сегодня пасмурно и холодно.
c)
Произвольно взятое целое число будет либо четным, либо нечетным.
d)
Спортсмен не должен вести себя некорректно по отношению к
сопернику или к судье.
e)
Пан или пропал.
f)
Или мне выдают зарплату, или я не буду работать!