Куб и пирамида: развёртки, модели и сечения

1.

Геометрия 10
Начальные сведения о кубе и пирамиде,
их развёртки и модели.
Сечения многогранников

2.

Сегодня на уроке
Мы погрузимся в мир трёхмерных фигур, их удивительных
свойств и неожиданных связей математики с реальным миром
Познакомимся с начальными сведениями о кубе и
пирамиде, подробно рассмотрим их модели.
Узнаем, что такое развертка многогранника (куба,
пирамиды), научимся строить сечения многогранников.
Установим связь между многогранниками и их моделями
в реальной жизни.

3.

Прямоугольный параллелепипед, его элементы
Вершина
Прямоугольный параллелепипед –
многогранник, все грани которого
являются прямоугольниками.
Ребро
Исследуем элементы:
Сколько у прямоугольного параллелепипеда
вершин, ребер, граней?
8 вершин, 12 ребер, 6 граней
Грань
Верхнюю и нижнюю грань прямоугольного
параллелепипеда называют верхним и нижним
основанием соответственно.

4.

Измерения и диагонали
Диагональ
Ребра прямоугольного параллелепипеда,
выходящие из одной вершины (длина, ширина,
высота), называют измерениями.
Отрезок, соединяющий две вершины, не
принадлежащие одной грани, называют
диагональю прямоугольного параллелепипеда.
Исследуем элементы:
Сколько всего можно провести диагоналей в
прямоугольном параллелепипеде ?
4 диагонали

5.

Куб, его элементы
Куб – частный случай прямоугольного параллелепипеда. Куб – это
прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны.
Вершина
Ребро
Грань
У куба 8 вершин, 12 ребер, 6 граней. В кубе можно провести 4 диагонали.

6.

Обозначение куба
Куб обозначают перечислением всех вершин. Например, в виде,
ABCDA1B1C1D1, где первые четыре буквы указывают нижнее
основание, следующие четыре буквы — верхнее основание.
B1
A1
D1
D1
B
A
Ребро куба обычно обозначают строчной
латинской буквой «a».
Диагональ куба обычно обозначают строчной
латинской буквой «d».
C
D
V = a³
S = 6a²

7.

Модели куба: Примеры
Модели куба — это трёхмерные объекты, которые
представляют собой правильный многогранник, все грани
которого являются квадратами.

8.

Развертка куба
Развёртка куба – это плоская фигура, которая получается при разрезах куба по
рёбрам и состоит из 6 квадратов. Из развертки можно изготовить модель куба из
картона, бумаги или других материалов (необходимо оставить швы для склеивания).
В – верхняя грань
Б
Б
Н
Б
Б
В
Б – боковая грань
Н – нижняя грань
Важно: В развёртке все грани
должны соприкасаться по рёбрам.

9.

Развертки куба: Примеры
Рассмотрим развертки куба на примерах реальных предметов

10.

Варианты разверток куба
Существует 11 различных развёрток куба. Наиболее известная — крест из 4
квадратов с двумя по бокам.

11.

Пирамида, ее элементы
Если вершины многоугольника соединить с точкой, не
лежащей в плоскости данного многоугольника, получим
многогранник, называемый пирамидой.
Вершина
Боковые грани
Основание

12.

Пирамида: Примеры
Пирамиды бывают треугольные, четырёхугольные, пятиугольные,
n-угольные. Название зависит от многоугольника, который лежит в
основании пирамиды.
Треугольная
пирамида
Четырёхугольная
пирамида
Пятиугольная
пирамида
Шестиугольная
пирамида

13.

Модели пирамиды: Примеры
Модели пирамиды — это трёхмерные объекты, которые
представляют собой многогранник, в основании которого лежит
многоугольник, а боковые грани являются треугольниками.

14.

Развертка пирамиды
Развертка пирамиды состоит из развёртки боковой поверхности (состоящей из
треугольников — граней пирамиды) и многоугольника основания.
Один и тот же многогранник может иметь несколько различных развёрток.

15.

Сечения многогранников
Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник,
сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает
многогранник, называют сечением.
Сечения куба
Сечения тетраэдра
Сечением куба могут быть
треугольники, четырёхугольники,
пятиугольники и шестиугольники,
так как он имеет шесть граней.
Сечением тетраэдра могут
быть треугольники и
четырёхугольники, так как
он имеет всего четыре грани.

16.

Сечения тетраэдра
D
D
D
C
A
C
A
B
Сечение ∥
плоскости ADC
C
A
B
B
Сечение ∥
плоскости ABC
Сечение ∥
ребру BD

17.

Сечения куба
D1
A1
D1
C1
A1
B1
D
A1
B1
C
D1
C1
D
C
C1
B1
D
C
A
B
Сечение ∥ плоскостям
ADD1 и BCC1
A
B
Сечение ∥ плоскостям
ADC и A1D1C1
A
B
Сечение ∥ ребрам
BB1 и DD1

18.

Определите названия остальных граней куба
на его развертке, при условии, что Б – боковая грань, В
– верхняя грань, Н – нижняя грань:
№1
В
Б
Б
Н
Б
В
Б
Б
Б
Н
Б
Б

19.

№2
Исключите развертки, которые не являются развертками куба:
Ответ: 2, 3
1)
2)
3)
4)

20.

№3 Постройте сечения плоскостью, проходящей через заданные точки:
Важно: При построении сечений можно соединять точки,
лежащие в одной плоскости; параллельные плоскости сечение
пересекает по параллельным прямым.

21.

№4 Постройте сечения плоскостью, проходящей через заданные точки:
Важно: При построении сечений можно соединять точки, лежащие в
одной плоскости; параллельные плоскости сечение пересекает по
параллельным прямым.

22.

№5 Постройте сечения плоскостью, проходящей
через заданные точки:

23.

Ответы к заданию №1.
Правильный ответ:
Задание:

24.

Ответы к заданию №3.
Правильный ответ:
Задание:

25.

Ответы к заданию №4.
Правильный ответ:
Задание:

26.

Ответы к заданию №5.
Правильный ответ:
Задание: