sinus_kosinus_tangens_kotangens_ugla (1)

1.

Синус, косинус, тангенс,
котангенс угла.
9 класс
Подготовлено учителем математики
ГАПОУ СО «БПТ» кадетская(казачья) школа-интернат Коробицыной Е.Л.

2.

Повторим!
В
с
a
С
b
А

3.

Задача 1.
Найдите тангенс
угла B треугольника ABC,
изображённого на рисунке.
Решение:
Ответ. 3,5

4.

Задача 2.
В
треугольнике АВС
угол А равен 90˚. Найти
АВ, если известно, что
ВС = 12 см, а
В
?
12
А
С
Решение:
= 15(см)
Ответ. АВ = 12 см

5.

Новый материал!

6.

Определение Полуокружность называется
единичной, если ее центр находится в начале
координат, а радиус равен 1.
y
h
C (0; 1)
M (x; y)
B (-1; 0)
O
x
y
D A(1; 0)
x

7.

Синус, косинус, тангенс угла
∆OMD - прямоугольный
y
h
sin = OM
M (x; y)
MD = y
C (0; 1)
MD
sin = y
OM = 1
B (-1; 0)
0
x
y
Синус угла – ордината у точки М
OD
D A(1; 0) x
cos = OM
cos = x
OD = x
OM = 1
Косинус угла – абсцисса х точки М
MD
tg = OD
MD = y = sin
OD = x = cos
tg
sin
cos

8.

Значения синуса, косинуса
y
h
C (0; 1)
M (x; y)
B (-1; 0)
0
x
y
Так как координаты (х; у) заключены
в промежутках
0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1,
то для любого из промежутка
0 ≤ ≤ 180
D A(1; 0) x
справедливы неравенства:
0 ≤ sin ≤ 1,
- 1≤ cos ≤ 1

9.

Значения синуса, косинуса и
тангенса для углов 00, 900 и 1800
y
h
C (0; 1)
M (x; y)
B (-1; 0)
0
x
Так как точки А, С и B имеют
координаты
А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то
y
00
900
1800
D A(1; 0) x
sin
0
1
0
cos
1
0
-1
tg
0
-
0

10.

Основное тригонометрическое
тождество
y
h
C (0; 1)
M (x; y)
B (-1; 0)
0
x
х2 + у2 = 1 - уравнение окружности
sin = y, cos = x
y
D A(1; 0) x
sin2α + cos2α = 1
для любого из промежутка 0 ≤ ≤ 180

11.

Формулы приведения
sin (90 - ) = cos
при 0 ≤ ≤ 90
cos (90 - ) = sin
sin (180 - )= sin
cos (180 - ) = - cos
при 0 ≤ ≤ 180

12.

Формулы приведения
sin (90 - ) = cos
y
cos (90 - ) = sin
C (0; 1)
при 0 ≤ ≤ 90
h
B (-1; 0)
0
D A(1; 0) x

13.

Формулы приведения
y
sin (180 - )= sin
C (0; 1)
cos (180 - ) = - cos
при 0 ≤ ≤ 180
B (-1; 0)
0
D A(1; 0) x

14.

Задача 3.
Принадлежат ли единичной окружности точки: М(-1;0), Р, К?
Решение:
х2 + у2 = 1 - уравнение окружности
Р:
М(-1;0):
(-1)2 + 02 = 1
1+0=1
2+2=1
+ =1
1=1
М принадлежит
окружности.
1
Р не принадлежит
окружности.
К:

15.

Задача 4.
. Найдите
Решение:
sin2α + cos2α = 1
tg
sin
cos
cos2α = 1 - sin2α
cosα =
cosα =
=
=
=

16.

Задача 4.
. Найдите
Решение:
sin2α + cos2α = 1
tg
sin
cos

17.

Вспомним значения синуса, косинуса
и тангенса некоторых углов.
y
0°
30°
45°
0
60°
90°
90°
60°
45°
1
30°
1
0
tg α
0
1
-
ctg α
-
1
0
0
1
x

18.

Задача 5.
Решение:
sin (180 - )= sin
cos (180 - ) = - cos

19.

Вычисление координат точки
y
A
М(cos α; sin α)
sin α
0
cos α
1
x

20.

Задача 6.
Найти координаты точки А, если отрезок ОА = 3, а угол
между лучом ОА, пересекающим единичную
полуокружность, и положительной полуосью Ох равен 60°.
Решение:
y
Находим координату х точки А:
Находим координату у точки А:
A
α = 60°
0
x