Комплексные числа и основные элементарные функции

1.

4. Ограниченность функции.
Опр. 7. Функция y = f (x) называется ограниченной сверху
X
, если существует такое число
(снизу) на множестве A
M (m), что для любых x из этого множества выполняется
условие f (x) < M (f (x) > m).
X
,
Функция y = f (x) называется ограниченной на множестве A
f
,
x
A
.
xM
если существует такое положительное число M, что
Функция,
не
неограниченной.
являющаяся
ограниченной,
называется
Например,
1) функция y = x2 ограничена снизу на всей числовой оси и
неограничена сверху;
2) функция y = sin x ограничена на множестве R;
3) функция y = x неограничена на множестве R.

2.

Основные элементарные функции
К основным элементарным функциям относятся:
x
,
x
X
,
R
1)y
(степенная
f
x
функция);
y
a
,
a
0
,
a
1
,
x
R
2)
(показательная
функция);
l
o
g
x
,0
a
,0
x
,
a
1 (логарифмическая
3)y
a
функция);
Xf
4) y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, x
(тригонометрические функции);
Xf
5) y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, x
(обратные тригонометрические функции). 1, x 0,
Например,
2
x 5
x
.
sin3
x
3
y
2
Элементарная функция
y x2,0 x 2,
x, x 2.
Неэлементарная функция
Элементарными функциями называются функции, которые
можно получить из основных элементарных функций с помощью
конечного числа конечного числа операций сложения, вычитания,
умножения, деления и образования сложных функций.

3.

Классификация элементарных функций
I. Алгебраические
– рациональные
n n
1
x
a
x
a
x
.
.
.
a
x
a
;
– многочлены P
nn
n
1
1
0
Pn x
;
– дробные рациональные функции R x
Qm x
– иррациональные функции (содержащие корень любой степени);
II. Трансцендентными (не являющиеся алгебраическими).
Примерами трансцендентных функций являются:
тригонометрические и обратные тригонометрические,
показательные и логарифмические функции.

4.

§ 3. Комплексные числа
3 5
N
=
{
1
;
2
;
.
.
.
;
n
;
.
.
.
}
- множество натуральных чисел 3 5
3 5
Z
{
0
;
1
;
2
;
.
.
.
;
n
;
.
.
.
}
- множество целых чисел
p
Q
Z
,q
N
=
:p
q
- множество рациональных чисел
R - множество действительных
?
3
?
5
?
x 1; x ?
2
x 2; x
2
(вещественных) чисел
Мнимая единица i – такое число, что
2
i 1.
C =- множество комплексных чисел
N
Z
Q
R
C
=

5.

Опр.1 Под множеством комплексных чисел понимают упорядоченное
множество пар действительных чисел: ab
; , cd
, , x, y ,… над которыми
можно выполнять следующие действия (операции):
1) a
,
b
,
b
a
,
b
b
a
a
— сложение (вычитание);
1
12
21
2
1
2
2) a
,
b
,
b
a
b
b
,
a
b
a
b
a
a
— умножение;
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
3)
a
a
b
b
a
b
a
b
1
2
1
22
1
1
2
,
b
,
b
— деление.
a
:
a
2 2, 2 2
1
1
2
2
a
ba
b
2
2
2
2
Соотнесем каждое комплексное число z с точкой на плоскости, имеющей
координаты ab
; .
При этом число а называют действительной частью комплексного числа z и
обозначают Re z, а действительное число b называют мнимой частью
комплексного числа и обозначают Im z (от английских слов «real» и
«imaginary»), т.е. a = Re z, b = Im z.

6.

В случае равенства нулю мнимой части (Im z = 0), получаем точки вида
a;0 , лежащие на оси абсцисс. Т.е. в этом случае комплексное число является
обычным действительным числом:
1) a
,
0
,
0
c
,
0
c
a
;
2) a
,
0
,
0
c
,
0
c
a
;
3) a
,
0
,
0:
c
,
0
:
c
a
.
Числа вида x;0 имеют те же свойства, что и действительные числа,
поэтому их можно отождествить и обозначать x .
;
0
xR
x
Причем 1
,0
1— действительная единица.
Рассмотрим теперь число вида 0
,1
i— мнимая единица.
2
i
,
1
,
1
1
.
0
0
Числа вида 0,y будут называться мнимыми.

7.

Следовательно, любое комплексное число может быть
представлено
x, y x,0 0, y x 1 i y x iy
x, y x iy — алгебраическая форма комплексного числа
.
Комплексное число z
можно задавать с помощью радиус
xi
y
вектора r
. Длина вектора r , изображающего комплексное число z
O
M
называется модулем этого числа. Величина угла между положительным
направлением действительной оси и вектором r , изображающим
комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа,
обозначается A
rgz или .
Аргумент комплексного числа z 0не определен. Аргумент
комплексного числа z 0— величина многозначная и определяется с
точностью до слагаемого 2 k k
, где argz
r
g
z
a
r
g
z
2
k
0
;
1
;
2
;
.
.
.A
— главное значение аргумента, заключенное в промежутке
a
r
g
z
(иногда в качестве главное значение аргумента берут 0
a
r
g2
z
).

8.

Множество комплексных чисел – это
множество
2
C
z
x
i
y
:
x
,
y
R
,
i
1
=
.
x Re z действительная часть,
y Im z мнимая часть комплексного числа z x iy
Опр. 2. Два комплексных числа z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2
x1 x2 ,
называются равными, если
y1 y2 .
Замечание.
Неравенства
z1 z2 , z1 z2 , z1 z2 , z1 z2
для комплексных чисел не имеют
смысла.
!

9.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Комплексные числа начали появляться в XVI в., но во всеобщее употребление
вошли только в XVIII–XIX вв., когда получили геометрическое толкование в
работах К. Весселя (1745–1818), Ж. Аргана (1768–1822), К. Гаусса (1777–1855), и
после того, как при помощи комплексных чисел удалось решить ряд практически
важных задач, неразрешимых в области действительных чисел.
Название «комплексное число» (от лат. complex – совокупный, тесно
связанный) и его представление в виде x+iy также впервые было дано Гауссом.
Символ i для обозначения мнимой единицы предложил Л. Эйлер (1707–1783)
(от лат. imaginarius – мнимый).
Каспар Вессель
(1745–1818)
Жан Робе́ р
Аргáн
(1768–1822)
Иога́ нн Карл
Фри́ дрих Га́ усс
(1777–1855)
Леона́ рд Э́ йлер
(1707–1783)

10.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел
y
Мнимая ось
z = x + iy
y
-1+i
1
-1 O
-y
x
x
Действительная ось
z
xi
y
Опр. 3. Число z
называется комплексно сопряженным
xi
y
числу z = x + iy.

11.

Действия
над
комплексными
Действия числами
над комплексными числами осуществляются по
обычным правилам с учетом i 2 1.
Пример
1.
z1 4 3i, z2 1 2i.
Пусть
z1 z2 4 3i (1 2i ) 3 i;
2z1 z2 2( 4 3i ) 1 2i 2( 4 3i ) (1 2i) 8 6i 1 2i 9 4i;
z1 z2 ( 4 3i ) (1 2i ) 4 8i 3i 6i 2 4 11i 6 2 11i;
z1 4 3i ( 4 3i )(1 2i ) 4 8i 3i 6i 2 10 5i
2 i;
2
z2
5
1 4i
1 2i
(1 2i )(1 2i )
домножить числитель и знаменатель на число,
комплексно сопряженное знаменателю
4 3i
z1
1
4
3
4 3i 4 3i
i.
2
z1 z1 z1 ( 4 3i )( 4 3i) 16 9i
25
25 25
!

12.

Различные формы записи комплексных чисел
2
2
y
r
z
x
y
Опр. 4. Число
называется модулем, а число
z
=
x
+
iy
y
arg z , удовлетворяющее
x
y
r
φ
cos ,
r
sin ,
r
аргументом
комплексного
x числа z=x+iy.
x
0
Опр. 5. Существует три формы записи комплексных
чисел:
•алгебраическая z x iy;
•тригонометрическая z r (cos i sin );
•показательная z r ei .
Связь между тригонометрической и показательной формами
записи комплексного числа определяется формулой Эйлера
ei cos i sin .

13.

Действия над комплексными числами в
тригонометрической и показательной формах записи
z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) r2 ei 2
z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) r1 ei 1 ;
Удобно умножать, делить, возводить в натуральную степень,
извлекать корень.
z1 r1 ei 1 r1 i ( 1 2 )
.
e
i 2
z1z2 r1 ei 1 r2 ei 2 r1r2 ei ( 1 2 ) ;
r2
z2 r2 e
При умножении комплексных чисел их модули
перемножаются, а аргументы складываются:
z1 z2 r1r2 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ));
при делении комплексных чисел их модули делятся, а
аргументы вычитаются:
z1 r1
(cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )).
z2 r2
при возведении комплексного числа z r (cos i sin )
в натуральную степень n его модуль возводится в степень n, а
аргумент умножается на n:
z n r n (cos n i sin n ).

14.

Пример
2.
( 1 i )10 .
1
Вычислим
cos 2
z 1 i
2
2
3
r
(
1)
1
2;
x 1; y 1
4
sin 1
y
2
-1+i
3
1
3
3
r
4
z 2 cos i sin
4
4
x
-1 O
10
z
2
30
30
cos
i
sin
4
4
10
15
15
3
3
z10 25 cos
i sin
32 cos 6 i sin 6
2
2
2
2
( 1 i )10 z10 32(0 i ) 32i.

15.

Если r = 1, получаем формулу
(cos i sin ) n cos n i sin n
которая называется формулой Муавра.
Абраха́ м де Муа́ вр
(фр. и англ. Abraham de Moivre) (1667–1754)
английский
математик
французского
происхождения.
Внес большой вклад в теорию вероятностей.
Вынужден был покинуть Францию из-за
гонений на протестантов. Жил в Лондоне, на
жизнь зарабатывал частным преподаванием и
шахматной игрой. Был известен как
талантливый
математик,
однако
как
иностранец не имел шансов на кафедру в
английском учебном заведении.
Ученик и помощник Исаака Ньютона.

16.

Извлечение корня из комплексного числа
Опр. 6. Корнем n-й степени из комплексного числа z
называется такое комплексное число w, что wn = z.
Из формулы Муавра следует, что существует ровно n
комплексных корней n-й степени из комплексного числа z.
z r (cos i sin ),
n
2 k
2 k
z r cos
i sin
, k 0,1, ..., n 1.
n
n
n
!

17.

Пример 3. Найдем все решения
z 3 8 0.
Решение. 1 способ. Корни уравнения
уравнения
z 3 8.
равны
8
8 x iy
2
2
cos
1
r
(
8)
0
8;
8
x 8; y 0
y
sin 0 0
8
O
-8
n
x
8 8 cos i sin
2 k
2 k
z r cos
i sin
, k 0,1, ..., n 1.
n
n
n
2 k
2 k
z 8 cos
i sin
, k 0,1, 2.
3
3
3
z0 2 cos i sin 1 i 3;
3
3
5
5
z2 2 cos i sin 1 i 3.
3
3
z1 2 cos i sin 2;

18.

Замечание. Геометрически точки, соответствующие различным
значениям корня n-й степени из комплексного числа z,
располагаются на окружности радиуса n z с центром в начале
координат и делят эту окружность на n равных частей, причем
один из корней имеет аргумент 1 arg z.
n
y
-8
z1
z0 2 cos i sin 1 i 3;
3
3
5
5
z2 2 cos i sin 1 i 3.
3
3
z0
3
O
2
x
z2
z1 2 cos i sin 2;

19.

Пример 3. Найдем все решения 3
z 8 0.
уравнения
Решение. 2 способ.
z 3 23 0;
( z 2)( z 2 2 z 4) 0;
2
или
z
2 z 4 0.
z 2 0
2
2
(2
3
i
)
;
12
D
(
2)
4
1
4
z1 2.
z2; 3
Упражнение. Найти
уравнений:
z 2 2 z 5 0;
1) z 2 i 0;
2) z 4 z 2 1 0.
3)
все
2 2 3i
1 i 3.
2
комплексные
корни