Proizvodnaya_EGE_15min_v2

1.

ПРИВЕТ!
Разберём производную
без тумана
За 15
минут
СМЫСЛ → ФОРМУЛЫ → 2 ПРИМЕРА
поймём
и посчитаем
Сначала — зачем она нужна. Потом — как её находить.
СМЫСЛ
ФОРМУЛЫ
ПРАВИЛА
ПРАКТИКА

2.

СМЫСЛ
02
Производная — скорость изменения функции
f(x) = x²
f′(x) = 2x
f′(1) = 2
Наклон сейчас = скорость изменения
сейчас
СМЫСЛ
ФОРМУЛЫ
ПРАВИЛА
ПРАКТИКА

3.

СМЫСЛ
03
Знак производной показывает направление
↗
ПАУЗА
f′ > 0
функция растёт
↘
f′ = 0
f′ < 0
в этот момент скорость изменения
равна нулю
функция убывает
Важно: ноль — это мгновение, а не «вся функция стоит».
СМЫСЛ
ФОРМУЛЫ
ПРАВИЛА
ПРАКТИКА

4.

СМЫСЛ
04
Функция — маршрут. Производная — спидометр
маршрут
h(t)
СПИДОМЕТР ФУНКЦИИ
h′ >
0
подъём
h′ =
0
пауз h′ <
0
а
плюс — набираем высоту
минус — теряем высоту
НЕ ВСЁ БУДУЩЕЕ — А БЛИЖАЙШИЙ ШАГ
СМЫСЛ
ФОРМУЛЫ
ПРАВИЛА
ПРАКТИКА

5.

ФОРМУЛЫ
05
База: константа, x, степень и корень
(C)′ = 0
x′ = 1
(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹
число не меняется
один шаг за шаг
показатель вперёд → степень на 1 ниже
ТВОЙ ХОД
1
(√x)′ =
(x⁷)′ = 7x⁶
2√x
Показатель — вперёд, степень — на один вниз.
СМЫСЛ
ФОРМУЛЫ
ПРАВИЛА
ПРАКТИКА

6.

ФОРМУЛЫ
06
Частные случаи степени можно вывести
(x⁻¹)′ =
−x⁻²
1/x = x⁻¹
записали степенью
вернули привычную дробь
применили правило
КОРЕНЬ — ТОЖЕ СТЕПЕНЬ
1
(√x)′ =
(1/x)′ = −1/x²
√x = x¹ᐟ² → ½x⁻¹ᐟ²
2√x
Значит, (√x)′ = 1/(2√x)
СМЫСЛ
ФОРМУЛЫ
ПРАВИЛА
ПРАКТИКА

7.

ФОРМУЛЫ
07
Тригонометрия: сегодня только две строки
(sin x)′ = cos x
синус превращается в косинус
(cos x)′ = −sin x
у косинуса появляется минус
cos x + 2x
y = sin x + x²
ДВЕ СТРОКИ —
СМЫСЛ
y′ =
и уже можно решать смешанные примеры
ФОРМУЛЫ
ПРАВИЛА
ПРАКТИКА

8.

ПРАВИЛА
08
Сумма и коэффициент: работаем по частям
(Cu)′ = Cu′
число перед функцией остаётся
(u ± v)′ = u′ ± v′
каждое слагаемое — отдельно
СМОТРИ НА ГЛАВНЫЙ ЗНАК
ПРИЁМ
СМЫСЛ
→ берём по частям
+ или −
разрежь функцию на слагаемые до вычислений
ФОРМУЛЫ
ПРАВИЛА
ПРАКТИКА

9.

ПРАВИЛА
09
Произведение и частное — отдельные правила
ПРОИЗВЕДЕНИЕ
меняем множители по очереди
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
знаменатель остаётся в квадрате
(uv)′ = u′v + uv′
(uv)′ ≠ u′v′
СМЫСЛ
ЛОВУШКА
нельзя просто поставить
штрихи
нужно узнавать по главному действию
ФОРМУЛЫ
ПРАВИЛА
ПРАКТИКА

10.

ПРАКТИКА
10
Почему (5x)′ = 5 — разложим по правилу
y = 5x
(5x)′ = 5′·x + 5·x′
СЧИТАЕМ 5 И x МНОЖИТЕЛЯМИ
u = 5,
v = x
= 0·x + 5·1
→
(uv)′ = u′v + uv′
=5
Где здесь исчезла пятёрка? Нигде.
Готово: (5x)′ = 5
Она была константой и осталась
коэффициентом.
СМЫСЛ
ФОРМУЛЫ
ПРАВИЛА
ПРАКТИКА

11.

ПРАКТИКА
11
Пример 1: производная многочлена
f(x) = 2x² + 3x − 6
(2x²)′ = 4x
ТРИ СЛАГАЕМЫХ — ТРИ ПРОИЗВОДНЫЕ
по частям
→
(3x)′ = 3
степень
→
константа
→
ответ
(−6)′ = 0
Попробуй назвать ответ до разбора.
f′(x) = 4x + 3
Сначала главный знак: здесь сумма и
разность.
СМЫСЛ
ФОРМУЛЫ
ПРАВИЛА
ПРАКТИКА

12.

ПРАКТИКА
12
Пример 2: произведение и синус
g(x) = (x² + 1) sin x
ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
g′ = 2x·sin x + (x² + 1)·cos x
g′ ≠ 2x · cos x
производные множителей просто не
перемножаем
первый изменили + второй изменили
Какое действие связывает крупные
блоки?
g′(x) = 2x sin x + (x² + 1) cos x
Увидел умножение — вспомнил отдельное
правило.
СМЫСЛ
ФОРМУЛЫ
ПРАВИЛА
ПРАКТИКА

13.

ФИНАЛ
13
Собери производную сам
h(x) = √x + 1/x + cos x
(√x)′ = 1/(2√x)
(1/x)′ = −1/x²
Три знакомых элемента:
найди h′(x)
(cos x)′ = −sin x
10 секунд — сначала
сам
СМЫСЛ
h′(x) = 1/(2√x) − 1/x² − sin x
ФОРМУЛЫ
ПРАВИЛА
ПРАКТИКА