Предел

1. 1 урок

Множества чисел. Числовые
последовательности
Преподаватель:
Методист: Бирюкова Ольга

2. Всем привет!

Как вы провели летние каникулы?
Готовы к учебному году? :)
Диалог
2

3. Взбираемся!

06
Степенная функция
05
Свойства функций. Взаимно обратные функции
04
Степень с рациональным и действительным
показателями
03
Арифметический корень натуральной степени
02
Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия.
01
Множества чисел. Числовые
последовательности
3

4.

Поговорим о множествах чисел
Вспомним, чем отличаются
рациональные числа от
иррациональных
Повторим периодические
дроби
План урока
Поговорим о числовых
последовательностях
Узнаем, что такое предел
последовательности
Научимся искать предел
последовательности
План занятия
4

5. Разминка

6. Разминка

Диалог
6

7. Повторение

Диалог
7

8. Проблема

Диалог
8

9. Множества чисел

Кадр из к/ф «Человек-паук»
Натуральные, целые, рациональные,
иррациональные и действительные числа

10. Множества чисел

ℕ — натуральные числа
ℤ — целые числа
— рациональные числа
ℝ — действительные числа
Теория
10

11. Натуральные и целые числа

ℕ = {1, 2, 3, ...} — множество натуральных чисел.
ℤ = {0, ± 1, ± 2, ± 3, ...} — множество целых чисел.
Запись n ∈ ℕ означает, что n — натуральное число.
Теория
11

12. Рациональные числа

Рациональное число – это число, которое можно представить в виде
обыкновенной дроби.
— множество рациональных чисел.
Рациональные числа — это всевозможные обыкновенные дроби.
Теория
12

13. Периодические дроби

Периодическая дробь — это бесконечная десятичная
дробь, у которой повторяется одна и та же цифра или
группа цифр, начиная с некоторого знака после запятой.
Эти цифры называются периодом дроби.
Например:
У дроби может быть предпериод, например:
Теория
13

14. Периодические дроби

Каждая периодическая дробь является рациональным числом.
Теория
14

15. Задание

Представьте обыкновенную дробь в виде периодической дроби.
1
3
Групповая работа
15

16. Интерактивная задача

Преобразуйте обыкновенную дробь
Интерактивная задача
в периодическую дробь.
16

17.

А как перевести
периодическую дробь в
обыкновенную?

18. Периодическую в обыкновенную

Преобразуйте периодическую дробь в обыкновенную.
Групповая работа
18

19. Интерактивная задача

Найдите значение выражения
Интерактивная задача
19

20. Иррациональные числа

Бесконечная непериодическая десятичная дробь является
иррациональным числом.
Примеры иррациональных чисел:
Теория
20

21. Задание

Значение какого из выражений является рациональным числом?
1
3
Групповая работа
21

22. Интерактивная задача

Значение какого из выражений является рациональным числом?
1
3
Интерактивная задача
22

23. Задание

Пусть a и b — рациональные числа, p и q — иррациональные.
Для каждого выражения определите, каким будет его значение:
рациональным, иррациональным или как рациональными, так и
иррациональным.
1. a + b
2. a + p
3. p + q
4. a · b
5. a · p
6. p · q
Групповая работа
23

24. Действия с иррациональными числами

Арифметические операции над иррациональными числами часто
заменяются операциями над их приближениями.
Например, с точностью до сотых:
Однако, если в задании нет указания округлить ответ, то не следует давать
приближённый ответ.
Теория
24

25. Действительные числа

Действительное число — это число, которое может быть
записано в виде конечной или бесконечной десятичной
дроби.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество
действительных чисел, которое обозначается буквой ℝ.
Теория
25

26. Действительные числа

Каждое действительное число соответствует единственной точке
на числовой прямой, и наоборот, каждая точка числовой прямой
соответствует единственному действительному числу.
Теория
26

27. Задание

Сравните числа
Групповая работа
27

28. Числовые последовательности

Кадр из к/ф «Звёздные войны»
Примеры, геометрическая прогрессия

29. Числовая последовательность

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое
число
, то говорят, что задана числовая последовательность.
Обозначение:
— член последовательности
n — номер члена последовательности
Числовая последовательность может быть задана формулой. Например:
Теория
29

30. Примеры числовых последовательностей

Какая последовательность называется арифметической
прогрессией? А какая геометрической прогрессией?
Как найти сумму первых n членов арифметической и
геометрической прогрессий?
Приведите примеры числовых последовательностей, не
являющихся ни арифметической, ни геометрической
прогрессией.
Групповая работа
30

31. Предел последовательности

Кадр из т/с «Теория большого взрыва»
Определение, примеры, число e

32. Предел последовательности

Пусть
— последовательность приближений вещественного
числа x с точностью до 10, до 1, до 0,1, до 0,01 и так далее.
Например, если x = π, то
Теория
32

33. Предел последовательности

Пусть
— последовательность приближений вещественного
числа x с точностью до 10, до 1, до 0,1, до 0,01 и так далее.
Тогда значение
, которое называется погрешностью приближения, будет
сколь угодно сильно приближаться к нулю, то есть стремиться к нулю.
Обозначение:
при
, или
.
В этом случае последовательность стремится к x, то есть:
Теория
33

34. Предел последовательности

Число
называется пределом числовой
последовательности
, если для любого
существует такое натуральное число
всех
, что для
выполняется неравенство
Теория
34

35. Предел последовательности

Другими словами, если число
является
пределом последовательности, то для
каждого
найдётся номер
, начиная с
которого все члены последовательности
принадлежат интервалу (а − ε; а + ε). Этот
интервал называют ε-окрестностью точки а.
● Последовательность, у которой существует предел, называют
сходящейся.
● Последовательность называют расходящейся, если никакое число не
является её пределом.
Теория
35

36. Интерактивная задача

Какие из приведённых ниже последовательностей имеют предел?
Интерактивная задача
36

37. Интерактивная задача

Найдите предел последовательности
Интерактивная задача
при
37

38. Очень щедрый банк

Банк «Щедрый» готов платить вкладчикам 100% годовых. Дмитрий решил
вложить 1 млн рублей и обсудить возможность начисления процента не раз
в год, а чаще (раз банк такой щедрый).
Какую максимальную сумму получит Дмитрий через год? (есть ли предел?)
Периодичность выплат
Вкладываем
Получаем
1 раз в год
1 млн ⋅ (1 + 100%) = 2 млн
2 раза в год
• 1 млн ⋅ (1 + 100/2%) = 1,5 млн
• 1,5 млн ⋅ (1 + 100/2%) = 2,25
млн
Каждый месяц
1 млн руб.
Каждый день
Каждый час
Бесконечное число раз
Групповая работа
38

39. Число e

Предел последовательности
при
называют числом e.
Число e — иррациональное число, как и число