презентация_свойства_степней_с_целым_показателем_

1. ГБОУ «Школа №7 г. о. Енакиево»

Подготовила:
Машина Н. С.
04.05.2026

2. Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Образовательные:
повторить
и
систематизировать
определение степени с целым показателем; вывести и
закрепить свойства степеней для целых показателей;
сформировать умение применять эти свойства при
упрощении выражений, вычислениях и сравнении чисел;
подготовить базу для изучения степенных функций.
Развивающие: развивать логическое мышление (умение
анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы);
развивать навыки работы с формулами и преобразования
выражений; развивать вычислительную культуру и
внимание; развивать умение работать самостоятельно и в
паре.
Образовательные:
повторить
и
систематизировать
определение степени с целым показателем; вывести и
закрепить свойства степеней для целых показателей;
сформировать умение применять эти свойства при
упрощении выражений, вычислениях и сравнении чисел;
подготовить базу для изучения степенных функций.

3. I. Повторение определения степени с целым показателем

1. Степень с натуральным показателем (n ∈ N, n>1):
Для любого числа a: aⁿ = a·a·…·a (n раз). Также a¹ = a.
Примеры: 5³ = 125, (-2)⁴ = 16, (1/2)² = 1/4.
2. Степень с нулевым показателем:
Для любого a ≠ 0: a⁰ = 1.
Важно: 0⁰ - неопределённость (не имеет смысла в
школьной алгебре).
Примеры: 7⁰ = 1, (-3)⁰ = 1, (0,5)⁰ = 1.
3. Степень с отрицательным целым показателем:
Для любого a ≠ 0 и натурального n: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ.
Примеры: 2⁻³ = 1/8 = 0,125; (-3)⁻² = 1/9; (1/4)⁻² = 4² = 16.

4. Обратите внимание: при переносе множителя из числителя в знаменатель или наоборот знак показателя меняется на противоположный:

1. Степень с целым показателем
определена для всех целых n, если a ≠ 0.
2. Для a = 0 допустимы только положительные
показатели: 0ⁿ = 0 при n>0. Выражения 0⁰, 0⁻¹, 0⁻⁵ не
имеют смысла.
3. При работе с отрицательными
основаниями нужно внимательно следить
за знаком: (-2)⁻² = 1/4, но -2⁻² = -1/4.

5. Устные упражнения для актуализации

1. Вычислите:
а) 3⁻²;
б) (-2)⁻³;
в) (2/5)⁻¹;
г) 10⁻³;
д) (-1)⁻⁵;
е) (-1/2)⁻²;
ж) 0,01⁻¹.
2. Представьте в
виде степени с
положительным
показателем:
а) a⁻⁷;
б) 1/x³;
в) 5 / y⁻²;
г) m⁻¹ · n⁻³.
3. Представьте в
виде степени с
целым
показателем
(возможно
отрицательным):
а) 1/8 = 2ᵈ;
б) 1/9 = 3ᵈ ;
в) 0,001 = 10ᵈ;
г) 4/9 = (2/3)ᵈ.

6. II. Свойства степени с целым показателем (для любых a≠0, b≠0 и любых целых m, n)

7. Типичные ошибки, которых следует избегать:

1. aᵐ · aⁿ = aᵐ·ⁿ - неправильно,
нужно складывать показатели.
2. (a+b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ
(это не свойство степеней!).
3. a⁰ = 0 - неправильно,
a⁰ = 1 при a≠0.
4. При подстановке отрицательного a в
степень с чётным показателем знак
становится плюс, но с нечётным - минус.

8. III. Примеры применения свойств степени с целым показателем (с подробными решениями)

Пример 1 (базовый). Упростить
выражение: (a⁻³ · a⁵) : a⁻².
Решение:
1. Выполняем умножение в
скобках: a⁻³ · a⁵ = a⁻³⁺⁵ = a².
2. Теперь деление: a² : a⁻² =
a²⁻⁽⁻²⁾ = a²⁺² = a⁴.
Ответ: a⁴.
Пример 3 (вычисления).
Вычислить: (2⁻⁴ · (2⁻²)⁻³) / 2⁻¹⁰.
Решение:
1. Сначала (2⁻²)⁻³ = 2⁽⁻²⁾·⁽⁻³⁾ = 2⁶.
2. Числитель: 2⁻⁴ · 2⁶ = 2⁻⁴⁺⁶ = 2² =
4.
3. Знаменатель: 2⁻¹⁰.
4. Значение дроби: 4 / 2⁻¹⁰ = 4 · 2¹⁰
= 4 · 1024 = 4096.
Ответ: 4096.
Пример 2 (представление в виде
степени). Представить выражение
(x³ / y⁻²)⁻⁴ в виде степени.
Решение:
1. Упростим дробь под степенью: x³
/ y⁻² = x³ · y² (так как 1/y⁻² = y²).
2. Возводим произведение в
степень -4: (x³ · y²)⁻⁴ = x³·⁽⁻⁴⁾ ·
y²·⁽⁻⁴⁾ = x⁻¹² · y⁻⁸.
3. Можно записать как 1/(x¹² y⁸)
или оставить с отрицательными
показателями.
Ответ: x⁻¹² y⁻⁸.

9. IV. Задания для закрепления (Классная работа)

Вариант 1 (повышенный уровень)
1. Вычислите:
а) 2⁻³ · 2⁵;
б) (1/3)⁻² + (-0,5)⁻¹ ;
в) (0,25)⁻¹ - 4⁻².
2. Упростите выражение (результат
запишите в виде степени с целым
показателем):
а) x⁻⁴ · x⁶ : x⁻²;
б) (y⁻³)⁻² · y⁵ : y⁻¹;
в) (2a⁻² / b⁻³)⁻² · (b² / a)³ .
3. Найдите значение выражения при
a = 2, b = 3:
(a⁻² b³) / (a⁻⁵ b⁻¹) · (ab)⁰.
4. Сравните числа: (1/6)⁻² и 36⁻¹.
5. Дополнительно: Докажите, что
(a⁻ᵐ bⁿ)⁻ᵏ = aᵐᵏ b⁻ⁿᵏ при a,b≠0 и
целых m,n,k.
Вариант 2 (средний уровень)
1. Вычислите:
а) 5⁻² · 5³;
б) (-2)⁻⁴ + 3⁻²;
в) (3/4)⁻² - (2/3)⁻¹ .
2. Упростите:
а) m⁻⁵ · m⁸ : m⁻³;
б) (k⁻⁴)⁻³ · k⁻¹⁰;
в) (3x⁻¹ / y²)⁻³ · (x y)².
3. Найдите значение: (2⁻³ ·
16) / 2⁻⁵ + 5⁰.
4. Сравните: 4⁻³ и 8⁻².
Вариант 3 (базовый уровень, для
поддержки)
1. Вычислите:
а) 10⁻² ;
б) 4⁻¹ + (-1)⁻⁴ ;
в) (1/2)⁻³ - 2⁻¹.
2. Упростите:
а) a⁻³ · a⁵;
б) b⁴ : b⁻² · b⁰;
в) (c⁻²)⁻³ · c⁵.
3. Вычислите: (3⁻² · 3⁵) / 3².
4. Представьте в виде степени с
положительным показателем:
а) x⁻⁵ · x²;
б) (y⁻³)⁻¹.

10. V. Самостоятельная работа на 15 минут

Вариант А
1. Вычислите: (-1/3)⁻³ + 2⁻⁴ · 8;
2. Упростите: ((a⁻³)⁻² · a⁻⁵) / a⁴;
3. Сравните: 2⁻³ и (1/2)⁻².
4. Дополнительно: Упростите (x²
y⁻¹)⁻³ · (x⁻³ y²)².
Вариант Б
1. Вычислите: (2/5)⁻² - 3⁻³ · 27;
2. Упростите: (x² y⁻³ / (x⁻¹ y⁴))⁻².
3. Найдите значение выражения:
(4⁻³ · 2⁹) / 8⁻².
4. Дополнительно: Найдите
значение (3a⁻¹ b²)⁻² при a=1/3, b=2.
Резервный вариант В (для тех, кто
быстро справился)
1. Вычислите: (-2/3)⁻³ + 0,5⁻²;
2. Упростите: ((m⁻²)³ · m⁻⁵) / m⁻⁴;
3. Решите уравнение: 2ˣ · 2⁻³ = ¼.

11. VI. Домашнее задание

Обязательная часть (для всех):
1. Выучить все 5 свойств степеней с
целым показателем наизусть
(можно в виде таблицы или
стишка). Подготовиться к устному
опросу.
2. Выполнить письменное задание:
- Упростите: а) (x⁻²·x⁵)⁻³; б) (3y⁻⁴
/ z⁻²)⁻² · (z³ / y)⁵
- Вычислите: (5⁻³ · 25²) / 125⁻¹ +
10⁰
- Сравните: (1/3)⁻⁴ и 81⁻¹
Дополнительная часть (по желанию,
на оценку):
4. Составить карточку-тренажёр для
соседа по парте: 5 выражений на
преобразование степеней с целыми
показателями (с ответами на
обороте).
5. Творческое задание: подготовить
сообщение или презентацию (5-7
слайдов) на тему «История
возникновения и развития понятия
степени». Можно рассказать о
Диофанте, Симоне Стевине, Рене
Декарте, Исааке Ньютоне. Указать,
кто ввёл современные обозначения
aⁿ. Срок - через неделю.

12. Итог урока (фронтальная беседа с классом):

Вопросы для обсуждения:
1 - Какие свойства степеней мы сегодня повторили? Назовите их
формулировки.
2 - Чем отличается степень с отрицательным показателем от степени с
натуральным?
3 - При каких значениях переменной определено выражение a⁻ⁿ? Почему?
4 - Какое свойство показалось самым сложным для понимания? Почему?
5 - Где в реальной жизни или в других науках можно встретить степени с
отрицательными показателями? (пример: физика - закон обратных
квадратов, биология - рост популяций, химия - pH растворов).

13. Рефлексия (сигнальные карточки):

Учитель раздаёт кружки трёх цветов
(или ученики поднимают руки):
- я всё понял на уроке, могу объяснить другому,
домашнее задание сделаю сам без помощи.
- я понял, но иногда путаю свойства, нужна помощь
товарища или учителя.
- я ничего не понял, нужна дополнительная
консультация.

English Русский Rules