Лекция 7 СДУ- 26 г

1. ДУиЧМ 2 семестр

Лекция 7
Системы дифференциальных
уравнений

2.

Введение
• Во многих задачах математики, физики и техники требуется
определить несколько функций, связанных между собой
несколькими дифференциальными уравнениями.
• Для этого необходимо располагать, вообще говоря, таким же
числом уравнений. Если каждое из этих уравнений является
дифференциальным, то есть имеет вид соотношения,
связывающего неизвестные функции и их производные, то
говорят о системе дифференциальных уравнений.
2

3.

Основные понятия теории СДУ
Определение. Система уравнений вида
Fi t , x1 t , x1 t ,
, x1 1 t ,
m
, xk t , xk t ,
, xk k t 0, i 1, s
m
t a, b
связывающих
• независимую переменную t,
• неизвестные функции x1 t ,
, xk t и
• их производные до порядков m1,m2,… mk соответственно,
называется системой обыкновенных дифференциальных
уравнений в общей форме.
Сумма порядков старших производных неизвестных
функций, входящих в СДУ, называется порядком СДУ.
3

4.

Способы представления СДУ
1. Канонический вид.
Определение. Система, которая может быть разрешена
относительно старших производных неизвестных функций,
называется канонической:
m j
xj
t f j t; x1 t ,
m1 1
, x1
,
, xk t ,
mk 1
, xk
.
4

5.

2. Нормальный вид.
Определение.
Система
уравнений
первого
порядка,
разрешенных относительно производных первого порядка
всех искомых функций, называется нормальной:
xi t fi t , x1 t , , xn t , i 1, n .
_____
(*)
Пример: записать СДУ в нормальной форме.
y x y 2
x y x
y z
y z
x z x
z z x y 2
5

6.

3. Симметрическая форма.
Особенность: все переменные равноправны.
_____
dxi t
fi t , x1 t , , xn t , i 1, n .
dt
dxi
dx1 dx2
dxn
dt ,
.
fi
f1
f2
fn
Такая форма записи СДУ удобна для применения метода
интегрируемых комбинаций.
6

7.

Решения СДУ
Определение. Совокупность непрерывно дифференцируемых
на (а,b)
функций 1 t , 2 t , , k t t , t a, b ,
называется решением СДУ, если она обращает на интервале
(а,b) каждое уравнение этой системы в тождество.
7

8.

Общее решение СДУ порядка n
Определение. Совокупность n непрерывно
дифференцируемых на (а,b) функций x1 t 1 t , C1, , Cn ,
x2 t 2 t , C1 , , Cn ,
x t t, C , , C ,
n
1
n
n
называется общим решением СДУ (*), если:
1) для любых значений констант она определяет решение СДУ;
2) Для любых допустимых НУ найдутся такие значения Сi, при
которых функции xi(t) удовлетворяют НУ.
НУ:
x1 (t0 ) x10 , x2 (t0 ) x20 ,
, xn (t0 ) xn 0
8

9.

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений
состоит в том, чтобы найти такое решение, которое при t=t0
принимало бы заданные значения:
x1 t0 x10 , x2 t0 x20 , , xn t0 xn0 .
9

10.

Теорема существования и единственности решения задачи
Коши.
Теорема. Пусть
1) правые части уравнений СДУ в НФ, т.е. функции
fi t , x1 , x2 , , xn , (i=1,2,…,n) непрерывны по всем (n+1)
переменным в некоторой области D;
2) их частные производные
fi fi
,
,
x1 x2
,
fi
xn
в области D
непрерывны.
Тогда каковы бы ни были значения НУ, принадлежащих
области D, существует единственное решение СДУ,
удовлетворяющее этим НУ.
.
10

11.

Пример:
Равенство
y x
x y
(t , x1 , x2 ,..., xn ) C ,
где
С
–
произвольная
постоянная, называется первым интегралом системы.
11

12.

Определение.
дифференциальных
Интегралом
нормальной
системы
уравнений
называется
функция
(t , x1 , x2 ,..., xn ), определенная и непрерывная вместе с
,
,...,
частными производными t x
xn в некоторой области D
1
изменения переменных и принимающая при любых x a, b
постоянное значение при подстановке в нее произвольного
решения системы.
12

13.

Условие первого интеграла (ПИ)
(t , x1 , x2 ,..., xn ) C
ПИ для xi t fi t , x1 t , , xn t , i 1, n .
_____
13

14.

Общее решение через ПИ.
Можно доказать, что в области D, в которой выполняются условия
существования и единственности решения задачи Коши общее
решение СДУ x t t , C , , C ,
1
1
1
n
x2 t 2 t , C1 , , Cn ,
x t t, C , , C ,
n
1
n
n
разрешимо относительно констант C1 , C2 , , Cn, т.е. справедливы
равенства:
1 t , x1 , x2 , xn C1 ,
2 t , x1 , x2 , xn C2 ,
t , x , x , x C .
1
2
n
n
n
Система n первых интегралов
НО !!! Эти n ПИ должны быть
независимы, т.е. ни один не
может быть получен через
другие!!!
14

15.

Условие независимости ПИ
1 t , x1 , x2 , xn C1 ,
2 t , x1 , x2 , xn C2 ,
t , x , x , x C .
1
2
n
n
n
Если Якобиан
J
D 1 , 2 ,
D x1 , x2 ,
, n
, xn
1 x1
1 x2
1 xn
2 x1
2 x2
2 xn
n x1
n x2
n xn
0
Интегралов СДУ ψi по функциям xi отличен от нуля, то интегралы
независимы.
15

16.

Пример:
t y
x y x
y t x
y x
1 x y t
2
2
2
x
y
t
2
16

17.

Геометрическая интерпретация СДУ в нормальной
форме
Рассмотрим для определенности нормальную систему:
dy
dx f1 ( x, y, z ),
dz f ( x, y, z ).
2
dx
Общее решение этой системы имеет вид: y y ( x, C1 , C2 ),
z z ( x, C1 , C2 ).
Каждая из функций - уравнение цилиндрической
поверхности в трехмерном пространстве,
их совокупность – кривую в Oxyz, которая является
интегральной кривой исходной системы.
17

18.

СДУ определяет в каждой точке x, y, z некоторой области
dy
пространства значения dx
dz
и dx , задающие направление,
которого касается интегральная кривая.
Нормальная система дифференциальных уравнений задает
поле направлений в пространстве.
Нахождение общего решения этой системы геометрически
означает
нахождение
двухпараметрического
семейства
кривых, в каждой своей точке касающихся направления,
задаваемого полем.
18

19.

Механическая интерпретация СДУ в нормальной
форме
Определение. Пространство переменных x1, x2 ,
, xn систе-
мы дифференциальных уравнений в нормальной форме называется фазовым пространством системы.
Уравнения системы задают значения скоростей изменения координат изображающей точки M t x1 t ,
, xn t ,
a t b.
Решение СДУ эквивалентно восстановлению координат
движущейся в пространстве R точки по известным скоростям
их изменения.
19

20.

Ориентированная кривая, описываемая при этом изображающей точкой M t x1 t ,
, xn t , a t b , называется
фазовой траекторией системы в фазовом пространстве.
20

21.

Некоторые приемы аналитического решения СДУ
1. Метод сведения к одному уравнению
(метод исключения неизвестных)
или в векторном виде
dy1
f
x
,
y
,
y
,
,
y
1
1
2
n
dx
dy 2 f x, y , y , , y
2
1
2
n
dx
dy n f x, y , y , , y
n
1
2
n
dx
yi (t ) fi ( x, y1,..., yn ), i 1,..., n
Дифференцируем по х первое уравнение системы
d 2 y1
dx 2
df 1 df 1 dy1
df 1 dy n
dx dy1 dx
dy n dx
21

22.

dy n
dy1 dy 2
Заменяя производные dx , dx , , dx
их выражениями
f 1 , f 2 , , f n из исходной системы уравнений, будем иметь
d 2 y1
dx
2
F2 x, y1 , y 2 , , y n
Дифференцируем полученное уравнение и поступая
аналогично предыдущему, найдём
d 3 y1
F3 x, y1 , y 2 , , y n
3
dx
Продолжая далее таким же образом, получим уравнение
d n y1
Fn x, y1 , y 2 , , y n
n
dx
22

23.

dy1
dx F1 x, y1 , y 2 , , y n
2
d y1
2 F2 x, y1 , y 2 , , y n
dx
..................................................
Итак, получили систему n
d y1
dx n Fn x, y1 , y 2 , , y n
Из первых п-1 уравнений определим y2 , y3 , … , yn , выразив
dy1 d 2 y1
d n 1 y1
их через x, y и dx , dx 2 , , dx n 1 .
Подставляя эти выражения в последнее из уравнений
системы, получим уравнения п-го порядка для определения y1
d n y1
n 1
x
,
y
,
y
,
,
y
1
1
1
n
dx
23

24.

Решив это уравнение, найдём y1
y1 1 x, C1 , C 2 , , C n
Дифференцируя последнее выражение п-1 раз, найдём
dy1 d 2 y1
d n 1 y1
,
, ,
2
производные
как функции от
dx dx
dx n 1
x, C1 , C 2 , , C n .
Подставляя эти функции в равенства, определяющие y2 , y3 , …
, yn , получим:
y 2 2 x, С1 , С 2 , , С n
...........................................
y x, C , C , , C .
n
1
2
n
n
Таким образом, найдено решение системы:
y 1 1 x , C1 , C 2 , , C n
y x, С , С , , С
2
2
1
2
n
...........................................
y n n x, C1 , C 2 , , C n
24

25.

Пример. Найти общее решение системы уравнений:
x 5x 2 y
y 2x 2 y
Продифференцируем первое уравнение: x 5 x 2 y ;
Подставим в это выражение производную у =2x + 2y
из второго уравнения.
x 5 x 4 x 4 y;
Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:
Получим ОЛДУ: x 5x 4x 2x 10x
x 7 x 6x 0
x C1 e t C 2 e 6t ;
x C1 e t 6C 2 e 6t ;
x C1et C2 e6t
1
t
6t
y
2
C
e
C
e
1
2
2
2 y x 5 x C1 e t 6C 2 e 6t 5C1 e t 5C 2 e 6t ;
1
y 2C1 e C 2 e 6 t ;
2
t
25

26.

Пример 2.
Решить СДУ сведением к одному ДУ
26

27.

27