Лек 8-9 - Дисп СВ, примеры ДСВ-2023

1.

Теория вероятностей
и математическая
статистика

2.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Дисперсия и моменты
старших порядков

3. Дисперсия СВ

Опр. Дисперсией СВ называется
математическое ожидание квадрата
отклонения СВ от своего среднего
значения

4. Среднее квадратическое отклонение (СКО)

D[ ] ─ среднее квадратическое
отклонение СВ .
Начальный момент порядка k
(k=0, 1, 2, …) СВ (если он
существует) есть число

5.

Центральный момент порядка k
(k=0, 1, 2, …) СВ (если он
существует) есть число

6.

В частности, из определений следует,
что

7. Теорема (свойства дисперсии)

1) D[C ] 0, [C ] 0, C const
2
2
2) D[ ] M M [ ]
Следствие
xi 2 pi M 2 [ ], ДСВ
i
D[ ]
2
2
x f ( x)dx M [ ], НСВ

8.

3) D[C ] C D
2
4) D[C ] D
5) D[ ] D D[ ],
если , независимы
6)
2
2
2
2
D[ ] M M M [ ]M [ ],
если , независимы

9. Доказательство.

2
2) D[ ] M M [ ]
M 2 M [ ] M [ ]
2
2
2
2
M 2M [ ] M [ ] M [ ]
2
2
M M [ ]

10.

3) D[C ] M C M [C ]
2
2
2
M C M [ ] C D[ ]
2
Замечание.
С С [ ]
4) D[C ] M C M [C ]
2
2
M C C M [ ]
2
M M [ ] D[ ]

11.

2
2
M 2M [ ] M
M [ ] 2M [ ]M [ ] M [ ]
2
2
M M [ ] M M [ ]
2
2
2
2 M [ ] M [ ]M [ ]
D[ ] D[ ]
2

12.

Замечание
Наряду со СВ рассматривают т.н.
нормированную СВ
M [ ]
T
.
[ ]
При этом
M [T ] 0, D[T ] 1.

13. Дисперсия функции СВ

14. Мода и медиана

Опр. Модой ДСВ называется ее
значение, принимаемое с наибольшей
вероятностью.
Для НСВ M o ─ точка locmax плотности
вероятности f(x).
Если M o единственна, то распределение называется
унимодальным.
В противном случае ─ полимодальным.

15.

Опр. Медианой M е x p НСВ называется такое ее
1
значение, что P( x p ) P( x p ) , т.е. одинаково
2
вероятно, окажется больше x p или меньше x p .
С помощью функции распределения можно записать

16. Метод производящих функций вычисления ЧХ ДСВ

Рассмотрим ДСВ , имеющую ряд распределения
Производящей функцией для ДСВ называется

17.

'( z ) k pk z
k 1
k 0
'(1) k pk M [ ] 1
k 0

18.

''( z ) k (k 1) pk z
k 2
k 1
''(1) k pk k pk
2
k 1
k 0
2 1 M M [ ]
2

19.

D[ ] M M [ ] 2
2
2
2
1
2 1 1
2
1
''(1) '(1) '(1)
2

20. Примеры основных распределений и их ЧХ

1. Биномиальная СВ (обозначение Bi (n, p ) ).
СВ число успехов в серии из n испытаний.
Значения : 0, 1, 2, …, n
Вероятности значений: pm Pn (m) Cnm p m q n m
(ф-ла Бернулли)
Условие нормированности:

21. Числовые характеристики

n
( z)
m 0
n
m m n m m
C
pm z n p q z
m
m 0
M [ ] '(1) q pz ' z 1
pn q pz
n
n 1
z 1

22.

23. Примеры биномиальных СВ

- число выпадений орла при n подбрасываниях
монеты
- число вышедших из строя приборов среди n
проверенных
- число попаданий в мишень при n выстрелах
-число мальчиков в семье, имеющей троих детей

24.

2. Пуассоновская СВ (обозначение П ( ) ).
СВ число успехов в «длинной» серии маловероятных
событий (закон редких явлений).
Значения : 0, 1, 2, …, n, …
Вероятности значений: pm Pn (m)
me
m!
(ф-ла Пуассона)
Условие нормированности:
e
m 0
m!
m
e
m
m! e e 1
m 0

25.

( z)
e
m
m!
m 0
z
e e e
'( z ) e
z e
m
m!
m 0
( z 1)
( z 1)
1 M [ ] '(1)
z
m

26.

2 ( z 1)
''( z ) e
''(1)
2
D[ ] ''(1) 1
2
1
2
2

27. Примеры пуассоновских СВ

- поток отказав элементов оборудования
- поток запросов в поисковике
- поток машин на заправке

28.

3. Геометрическое распределение
(обозначение G ( ) ).
СВ число независимых испытаний до первого успеха
Значения : 1, 2, …, n, …
Вероятности значений: pm pq m 1
Условие нормированности:
p pq
m 1
m
m 1
m 1
p q
m 1
m 1
1
p
1
1 q

29. Числовые характеристики

( z ) pq
m 1
m 1
z pz (qz )
m
m 1
m 1
1
pz
pz
1 qz 1 qz
'( z )
p(1 qz ) pzq
1 qz
2
p
1 qz
2
p
p 1
1 M [ ] '(1)
2
2
(1 q )
p
p

30.

2 pq
''( z )
3
(1 qz )
2 pq
2 pq 2q
''(1)
3 2
3
p
1 q p
q
D[ ] ''(1) 1 2
p
2
1

31. Примеры геометрических СВ

-число испытаний прибора до первого отказа
- число проверяемых изделий до обнаружения
брака
-число попыток запустить механизм до первого
срабатывания
-число выстрелов до первого попадания

32.

33.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь