Случайные величины

1.

Содержание
Случайные величины
Дискретная случайная величина (ДСВ)
Закон распределения СВ
Числовые характеристики ДСВ
Теоретические моменты ДСВ
Система двух ДСВ
Числовые характеристики системы двух ДСВ
Непрерывная СВ
Функция распределения НСВ
Функция плотности распределения НСВ
Числовые характеристики НСВ
Кривая распределения СВХ
Мода
Медиана
Равномерное распределение плотности
Нормальный закон распределения. Функция Лапласа

2.

Случайные величины
Случайной величиной (СВ)
называется величина, которая в
результате опыта может принять то
или иное значение, причем заранее до
опыта неизвестно, какое именно.
Делятся на два типа: дискретные СВ
(ДСВ) и непрерывные СВ (НСВ)

3.

Дискретная случайная величина
(ДСВ)
ДСВ – такая величина ,число возможных
испытаний которой либо конечно, либо
бесконечное множество, но обязательно
счетное.
Например, частота попаданий при 3 выстрелах – X
x1=0, x2=1, x3=2, x4=3
ДСВ будет полностью описана с вероятностной точки
зрения, если будет указано, какую вероятность имеет
каждое из событий.

4.

Закон распределения СВ
Законом распределения СВ называется соотношение,
устанавливающее связь между возможным
значением СВ и соответствующими вероятностями.
Формы задания закона распределения:
1.
Таблица
X x1 x 2 … xn
Pi p1 p2 … pn
n
P 1
i 1
i

5.

Закон распределения ДСВ
Многоугольник
распределения
Pi
p3
p2
p4
p1
x1
x2
x3
x4
Xi
Сумма ординат многоугольника распределения,
представляющая собой сумму вероятностей всех
возможных значений СВ всегда равна 1

6.

Числовые хар-ки ДСВ
1. Математическое ожидание – сумма
произведений значений СВ на их
вероятности.
n
M
(
X
)
x
p
x
p
...
x
p
x
p
1
1
2
2
n
n
i
i
i
1
Математическое ожидание является хар-кой
среднего значения случайной величины

7.

Числовые хар-ки ДСВ
Свойства математического ожидания:
1
.
M
(
c
)
c
,
c
const
2
.
M
(
x
x
...
x
)
M
(
x
)
M
(
x
)
...
M
(
x
)
1
2
n
1
2
n
3
.
M
(
x
*
x
*
...
*
x
)
M
(
x
)
*
M
(
x
)
*
...
*
M
(
x
)
1
2
n
1
2
n
4
.
M
(
cx
)
cM
(
x
),
c
const

8.

Числовые хар-ки ДСВ
2. Дисперсией ДСВХ называется
математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от
математического ожидания.
D
(
X
)
M
(
X
MX
)
2
Дисперсия характеризует меру рассеяния значений СВ
от математического ожидания
(X
) D
(X)
Среднеквадратичное
( X ) -отклонение
При решении задач дисперсию удобно вычислять по
формуле:
D
(
X
)
M
(
x)
M
(
x
)
2
2

9.

Числовые хар-ки ДСВ
Свойства дисперсии:
1
.
D
(
c
)
0
,
c
const
2
.
D
(
cX
)
C
D
(
X
)
2
3
.
D
(
x
x
...
x
)
D
(
x
)
D
(
x
)
...
D
(
x
)
1
2
n
1
2
n

10.

Теоретические моменты ДСВ
Начальным моментом порядка k СВХ называют математическое
отношение Хk
M
(
X
);
M
(
X
);
M
(
X
)
k
k
2
1
2
Центральным моментом порядка k СВХ называют
математическое ожидание величины
(X
M
(X
))
k
0
1
M
(X
M
(X
))
D
(X
)
M
(X)
(M
(X
))
2
3
3 3 1 2 2 1
3
K
2
2
2

11.

Система двух ДСВ
Систему двух СВ (ХY) можно изображать
случайной точкой на плоскости.
Событие, состоящее в попадании
случайной точки (ХY) в область D
обозначают (X,Y)∩D
Закон распределения системы двух ДСВ
можно задать таблицей

12.

Система двух ДСВ
Таблица, задающая закон распределения системы двух ДСВ
Y
y2
y3
…
X
y1
yn
x1
p11 p12 p13 … p1n
x2
p21 p22 p23 … p2n
x3
p31 p32 p33 … p3n
…
xm
… … … … …
pm1 pm2 pm3 … pmn
x1 x2 x3 ... xm
y1 y2 y3 ... yn
m
n
P 1
i 1
j 1
ij

13.

Числовые хар-ки системы двух ДСВ
Математическое ожидание и дисперсия системы двух ДСВ по определению
При решении задач удобно применять формулу

14.

Непрерывная СВ
НСВ называется такая величина,
возможные значения которой
непрерывно заполняют некоторый
интервал (конечный или бесконечный).
Число всех возможных значений НСВ
бесконечно.
Пример: Случайное отклонение по
дальности точки падения снаряда от
цели.

15.

Функция распределения НСВ
Функцией распределения называют F(x),
определяющую для каждого значения x
вероятность того, что СВХ примет значение,
меньшее х, т.е. согласно определению
F(x)=P(X<x)
F(x) определяет и ДСВ и НСВ. F(x) также
называют интегральной функцией
распределения.

16.

Функция распределения НСВ
Свойства функции распределения:
1. 0 F(x) 1
2. если
x2 x1 , то
F(x2) F(x1)
(
a
x
b
)
F
(
b
)
F
(
a
)
следствие: P
3.
Если все возможные значения x СВХ принадлежат интервалу (a;b),
то при a<=a F(x)=0, а при x>=b F(x)=0
Следствие:
lim F ( x) 0
x
lim F ( x) 1
x
Функция распределения непрерывна слева

17.

Функция плотности распределения
НСВ
Функцией плотности распределения вероятностей называют первую
производную от функции F(x) f(x)=F`(x). f(x) называют
дифференциальной функцией. Вероятность того, что НСВХ
примет значения, принадлежащие интервалу (a;b) вычисляемые
b
по формуле
P
(
a
x
b
)
)
dx
f(x
a
Зная плотность распределения, можно найти функцию
a
распределения
F
(x) f(x)dx
Свойства:
1.
2.
f (x) 0
в частности, если все возможные значения
f (x)dx 1,СВ
принадлежат (a;b), то
f (x)dx 1
b
a

18.

Числовые хар-ки НСВ
Математическое ожидание НСВХ, все возможные значения которой
принадлежат интервалу (a;b), определяется равенством:
Дисперсия НСВХ, все возможные значения которой принадлежат интервалу
(a;b), определяется равенством:
При решении задач применима формула:

19.

Числовые хар-ки НСВ
Среднеквадратичное отклонение определяется так же, как и для ДСВ:
(X
) D
(X
)
Начальный момент k-ого порядка НСВ определяется равенством:
x f(x)dx
b
k
k
a
M(X)
1
M
(
X
)
xf(
x
)
dx
b
2
2
2
a

20.

Числовые хар-ки НСВ
Центральный момент k-ого порядка НСВХ, все возможные значения которой
принадлежат интервалу (a:b), определяется равенством:
(
x
M
(
x
))
f(
x
)
dx
b
k
k
a
1
0
D(X)
3
2
2
3
1
3
3
12
4
6
4
13
4
3
2
2
1
4
1

21.

Числовые хар-ки НСВ
Если все возможные значения НСВХ принадлежат всей
числовой оси ОХ, то во всех вышеуказанных формулах
определенный интеграл заменяется несобственным
интегралом с бесконечными нижним и верхним пределами

22.

Кривая распределения СВХ
Y
График функции f(x) называется
кривой распределения
кривая распределения
a
М0
b
X
Геометрически вероятность попадания СВХ в промежуток (a;b) равна
площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой
распределения осью ОХ и прямыми x=a и x=b

23.

Мода
Модой ДСВХ называется ее наиболее вероятное значение. Модой НСВХ
называется такое ее значение M0, при котором плотность распределения
максимальная.
Для нахождения моды НСВ необходимо найти максимум функции с помощью
первой или второй производной.
X
1
2
3
P
0.1
0.6
0.3
M0=2, т.к. 0.1<0.6>0.3
Геометрически мода является абсциссой той точки кривой или полигона
распределения, ордината которой максимальна
Y
a
М0
b
X

24.

Медиана
Медианой НСВХ называется такое ее значение Ме, для
которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина
больше или меньше Ме, т.е. P(x< Ме)=P(x> Ме)=0.5
Ордината, проведенная к точке с абсциссой, равной Ме,
делит пополам площадь, ограниченную кривой или
полигоном распределения. Если прямая x=a
является осью симметрии кривой распределения
y=f(x), то М0=Ме=М(Х)=a

25.

Равномерное распределение
плотности
Равномерным называется распределение таких СВ, все значения которых лежат на некотором
отрезке (a;b) и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке
Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное
отклонение равномерно распределенной СВ:
Y
h
a b
M
(X)
2
a
(a b
)
D
(X
)
12
2
(X) b2 3a
b
0,x a
f(x)
h,a x b
0,x b
h
1
b a
X

26.

Нормальный закон распределения.
Функция Лапласа
Нормальный закон распределения характеризуется плотностью
2
(x
a
)
Кривая распределения симметрична
2
2
относительно прямой x=a.
1
f(
x
)
e
2
Y
Кривая Гаусса, нормальная
кривая
Максимальная ордината при x=a
равна
1
2
1) f (x) 0
2) f (x) 1
x=a
M(X) a
(X) D(X)
M0 a Me
X
Ось абсцисс является асимптотой
кривой y=f(x)
Ф(x) - Функция Лапласа
u
2
t2/t
Ф
(
X
)
e dt
2
0