Лекция_20

1.

§ 5. Дифференцируемость решений систем в нормальной форме
по параметрам и начальным данным
X F (t; X ; )
(1)
dim p
X (t0 ; ) X 0
(2)

2.

Теорема 1.
Пусть правые части системы (1) заданы и непрерывны на множестве
R t t0 a; X X 0 b;
Пусть на этом множестве существуют производные,
f i
x j
и
f i
k
i; j 1; ; n; k 1; ; p
непрерывные по всем аргументам.
Тогда решение системы (1) непрерывно дифференцируемо по компонентам
2
2
xi
x
i
вектора , кроме того, вторые смешанные производные
и
t k k t
также существуют, непрерывны и не зависят от порядка
дифференцирования.

3.

Из существования непрерывных производных вытекает выполнение
условия Липшица для системы (1). Тогда решение задачи Коши (1)-(2)
существует и единственно, определено относительно аргумента t на
множестве t t0 h, где величина h определяется теоремой существования
и единственности решения задачи Коши, рассмотренной в параграфе 3, и
непрерывно зависит от параметра, согласно теореме, доказанной в
параграфе 4.
Доказательство.
x f (t; x; )
(3)
x(t0 ; ) x0
(4)
t
x x0 f ( s; x; )ds
t0
(5)

4.

Без ограничения общности можно также считать, что нулевому значению
параметра соответствует нулевое решение
x(t;0) 0
x f (t; x;0)
f (t; x(t;0);0) f (t;0;0) 0
x (t0 ) x0
u x(t ; ) x (t )
g f (t ; x; ) f (t ; x ;0)
u (t ;0) ≡
0
u
g (t ; u; ) f (t ; u x ; ) f (t ; x ;0)
u (t0 ;0) =
0
t
g (t ;0;0) 0

5.

(3)
(6)
x f (t; x; )
z t f (t; x; ) f x (t; x; ) z (7)
x(t0 ;0) 0
z (t0 ; ) 0
(8)
x(t ; )
z
f (t ; x(t ; ); ) f x (t ; x(t ; ); ) z
t
z z (t ; )
R1 t t0 h;
(7’)

6.

z (t; l )
(7’) ⟹
dl f