2_Математическое описание

1. Математическое описание объектов и систем управления

2. Инерционные свойства объектов

Все объекты и системы управления в целом обладают
инерцией: их состояние не может мгновенно изменяться
под действием внешних воздействий.
Другими словами: текущее состояние инерционного
объекта зависит не только от внешних воздействий,
оказываемых на них в данный момент времени, но и от
предыдущего состояния самого объекта.
Инерционность объекта:
мешает управлению, поскольку замедляет реакцию объекта на
управляющие сигналы;
помогает управлению, поскольку замедляет реакцию объекта
на возмущения.
Инерционные свойства объектов

3. Инерционные свойства объектов

Инерционность связана с процессами накопления в объекте
материальной среды или энергии:
в баке и ресивере накапливаются жидкость и газ, вследствие чего
уровень жидкости и давление газа не могут изменяться мгновенно
(катастрофы не принимаем во внимание );
в конденсаторе и катушке индуктивности накапливаются энергии
электростатического (заряд) и электромагнитного полей, поэтому
напряжение на конденсаторе и ток катушки также не могут мгновенно
изменяться;
тело, движущееся в пространстве накапливает механическую
энергию, его положение и скорость могут изменяться только плавно;
нагретое тело накапливает тепловую энергию, его температура также
изменяется плавно;
и т.д.
Все перечисленные выше переменные описывают состояние
соответствующих объектов и поэтому называются переменными
состояния.
Инерционные свойства объектов

4. Инерционные свойства объектов

Накопление вещества или энергии описывается
математической операцией интегрирование.
Инерционные свойства объектов

5. Инерционные свойства объектов

Накопление вещества или энергии описывается
математической операцией интегрирование.
Qпр
Qст
h
Инерционные свойства объектов

6. Инерционные свойства объектов

Накопление вещества или энергии описывается
математической операцией интегрирование.
Qпр
Qст
h
Qпр – объемный расход притока; Qст – объемный расход стока;
S – площадь поверхности жидкости.
Инерционные свойства объектов

7. Инерционные свойства объектов

Накопление вещества или энергии описывается
математической операцией интегрирование.
Qпр
Qст
h
Qпр – объемный расход притока; Qст – объемный расход стока;
S – площадь поверхности жидкости.
Приращение объема жидкости в баке за время d : dV = (Qпр-Qст)d .
Инерционные свойства объектов

8. Инерционные свойства объектов

Накопление вещества или энергии описывается
математической операцией интегрирование.
Qпр
Qст
h
Qпр – объемный расход притока; Qст – объемный расход стока;
S – площадь поверхности жидкости.
Приращение объема жидкости в баке за время d : dV = (Qпр-Qст)d .
Приращение уровня: dh = (Qпр-Qст) d /S.
Инерционные свойства объектов

9. Инерционные свойства объектов

Накопление вещества или энергии описывается
математической операцией интегрирование.
Qпр
Qст
h
Qпр – объемный расход притока; Qст – объемный расход стока;
S – площадь поверхности жидкости.
Приращение объема жидкости в баке за время d : dV = (Qпр-Qст)d .
Приращение уровня: dh = (Qпр-Qст) d /S.
Интегрируя, получим:
1t
h (Qпр Qст )d .
S0
Инерционные свойства объектов

10. Инерционные свойства объектов

Накопление вещества или энергии описывается
математической операцией интегрирование.
Qпр
Qст
h
Qпр – объемный расход притока; Qст – объемный расход стока;
S – площадь поверхности жидкости.
Приращение объема жидкости в баке за время d : dV = (Qпр-Qст)d .
Приращение уровня: dh = (Qпр-Qст) d /S.
Интегрируя, получим:
1t
h (Qпр Qст )d .
S0
Однако более распространенным является описание объекта с помощью
дифференциального уравнения:
dh 1
(Qпр Qст ) .
dt S
Инерционные свойства объектов

11.

Объекты и системы управления принято описывать
структурными схемами, показывающими прохождение и
преобразование сигналов.
Qпр
Qст
-
1
S
1
p
1t
h (Qпр Qст )d
S0
dh 1
(Qпр Qст )
dt S
Инерционные свойства объектов

12.

Объекты и системы управления принято описывать
структурными схемами, показывающими прохождение и
преобразование сигналов.
В линейных объектах и системах осуществляется всего
три типа преобразований:
Qпр
Qст
-
1
S
1
p
1t
h (Qпр Qст )d
S0
dh 1
(Qпр Qст )
dt S
Инерционные свойства объектов

13.

Объекты и системы управления принято описывать
структурными схемами, показывающими прохождение и
преобразование сигналов.
В линейных объектах и системах осуществляется всего
три типа преобразований:
интегрирование (накопление);
Qпр
Qст
-
1
S
1
p
1t
h (Qпр Qст )d
S0
dh 1
(Qпр Qст )
dt S
Инерционные свойства объектов

14.

Объекты и системы управления принято описывать
структурными схемами, показывающими прохождение и
преобразование сигналов.
В линейных объектах и системах осуществляется всего
три типа преобразований:
интегрирование (накопление);
масштабирование (умножение на постоянный коэффициент);
Qпр
Qст
-
1
S
1
p
1t
h (Qпр Qст )d
S0
dh 1
(Qпр Qст )
dt S
Инерционные свойства объектов

15.

Объекты и системы управления принято описывать
структурными схемами, показывающими прохождение и
преобразование сигналов.
В линейных объектах и системах осуществляется всего
три типа преобразований:
интегрирование (накопление);
масштабирование (умножение на постоянный коэффициент);
суммирование (в т.ч. вычитание).
Qпр
Qст
-
1
S
1
p
1t
h (Qпр Qст )d
S0
dh 1
(Qпр Qст )
dt S
Инерционные свойства объектов

16.

Интегрирование
Qпр
Qст
-
1
S
1
p
1t
h (Qпр Qст )d
S0
dh 1
(Qпр Qст )
dt S
Инерционные свойства объектов

17.

Интегрирование
Операция дифференцирования dx/dt может быть представлена
умножением переменной x на оператор p, т.е.
p – оператор дифференцирования.
Qпр
Qст
-
1
S
1
p
1t
h (Qпр Qст )d
S0
dh 1
(Qпр Qст )
dt S
Инерционные свойства объектов

18.

Интегрирование
Операция дифференцирования dx/dt может быть представлена
умножением переменной x на оператор p, т.е.
p – оператор дифференцирования.
Соответственно, обратная дифференцированию операция
интегрирования может быть представлена умножением
переменной на обратный оператор 1/p.
Qпр
Qст
-
1
S
1
p
1t
h (Qпр Qст )d
S0
dh 1
(Qпр Qст )
dt S
Инерционные свойства объектов

19.

Интегрирование
Операция дифференцирования dx/dt может быть представлена
умножением переменной x на оператор p, т.е.
p – оператор дифференцирования.
Соответственно, обратная дифференцированию операция
интегрирования может быть представлена умножением
переменной на обратный оператор 1/p.
Так, если y = dx/dt, то можно записать: y = px, x = (1/p)y.
Qпр
Qст
-
1
S
1
p
1t
h (Qпр Qст )d
S0
dh 1
(Qпр Qст )
dt S
Инерционные свойства объектов

20.

Интегрирование
Операция дифференцирования dx/dt может быть представлена
умножением переменной x на оператор p, т.е.
p – оператор дифференцирования.
Соответственно, обратная дифференцированию операция
интегрирования может быть представлена умножением
переменной на обратный оператор 1/p.
Так, если y = dx/dt, то можно записать: y = px, x = (1/p)y.
Qпр
Qст
-
1
S
1
p
1t
h (Qпр Qст )d
S0
dh 1
(Qпр Qст )
dt S
На входе интегратора - скорость изменения выходного сигнала
Инерционные свойства объектов

21.

Интегрирование
Выходной сигнал интегратора увеличивается, если сигнал на его
входе больше нуля
Qпр
Qст
dh/dt
-
h
1
S
1
p
Инерционные свойства объектов

22.

Интегрирование
Выходной сигнал интегратора увеличивается, если сигнал на его
входе больше нуля
и уменьшается, если входной сигнал меньше нуля.
Qпр
Qст
dh/dt
-
h
1
S
1
p
Инерционные свойства объектов

23.

Интегрирование
Выходной сигнал интегратора увеличивается, если сигнал на его
входе больше нуля
и уменьшается, если входной сигнал меньше нуля.
Выход интегратора остается неизменным, если сигнал на его
входе равен нулю.
Qпр
Qст
dh/dt
-
h
1
S
1
p
Инерционные свойства объектов

24.

Самовыравнивание
Рассмотренный выше объект - это объект без
самовыравнивания: при снятии внешнего воздействия он не
возвращается в исходное состояние.
Рассмотрим объект с самовыравниванием.
Однородное тело нагревается некоторым нагревателем.
Тело характеризуется теплоемкостью C, Дж/ C и коэффициентом
теплоотдачи A, Дж/( C сек).
Теплоемкость – это количество тепла, требуемое для нагрева тела на 1 C.
Коэффициент теплоотдачи – количество тепла, отдаваемое телом в единицу
времени в окружающею среду при превышении его температуры над
температурой среды на 1 C.
К телу подводится тепловая энергия мощностью P, Вт.
Состояние тела описывается превышением температуры .
P
Тело
Инерционные свойства объектов

25.

Составим уравнение теплового баланса.
Тепло, подводимое к телу за время d
частично аккумулируется самим телом, что приводит к
увеличению его температуры на d градусов;
частично отдается в окружающую среду.
P d
=
Вт сек = Дж
С d
+
Дж/ C C = Дж
A d
Дж/( C сек) C сек = Дж
Инерционные свойства объектов

26.

Составим уравнение теплового баланса.
Тепло, подводимое к телу за время d
частично аккумулируется самим телом, что приводит к
увеличению его температуры на d градусов;
частично отдается в окружающую среду.
P d
=
Вт сек = Дж
С d
+
Дж/ C C = Дж
A d
Дж/( C сек) C сек = Дж
По уравнению теплового баланса непосредственно записывается
дифференциальное уравнение объекта
P C
d
A ,
dt
Инерционные свойства объектов

27.

Составим уравнение теплового баланса.
Тепло, подводимое к телу за время d
частично аккумулируется самим телом, что приводит к
увеличению его температуры на d градусов;
частично отдается в окружающую среду.
P d
=
Вт сек = Дж
С d
+
Дж/ C C = Дж
A d
Дж/( C сек) C сек = Дж
По уравнению теплового баланса непосредственно записывается
дифференциальное уравнение объекта
d
P C
A ,
dt
С d
1
d
P или T
kP
A dt
A
dt
Инерционные свойства объектов

28.

Составим уравнение теплового баланса.
Тепло, подводимое к телу за время d
частично аккумулируется самим телом, что приводит к
увеличению его температуры на d градусов;
частично отдается в окружающую среду.
P d
=
Вт сек = Дж
С d
+
Дж/ C C = Дж
A d
Дж/( C сек) C сек = Дж
По уравнению теплового баланса непосредственно записывается
дифференциальное уравнение объекта
d
P C
A ,
dt
С d
1
d
P или T
kP
A dt
A
dt
где T – тепловая постоянная времени, сек, k – коэффициент
передачи, С/Вт.
Инерционные свойства объектов

29.

Решение этого дифференциального уравнения
kP (0) kP e t / T .
где (0) – начальное значение превышения температуры.
Инерционные свойства объектов

30.

Решение этого дифференциального уравнения
kP (0) kP e t / T .
где (0) – начальное значение превышения температуры.
При (0) = 0:
kP 1 e t / T .
Инерционные свойства объектов

31.

Решение этого дифференциального уравнения
kP (0) kP e t / T .
где (0) – начальное значение превышения температуры.
При (0) = 0:
kP 1 e t / T .
(t)
kP
0,95k
T
3T
t
Инерционные свойства объектов

32.

Решение этого дифференциального уравнения
kP (0) kP e t / T .
где (0) – начальное значение превышения температуры.
При (0) = 0:
kP 1 e t / T .
(t)
kP
0,95k
T
T
3T
d
kP
dt
t
Инерционные свойства объектов

33.

Решение этого дифференциального уравнения
kP (0) kP e t / T .
где (0) – начальное значение превышения температуры.
При (0) = 0:
kP 1 e t / T .
(t)
kP
0,95k
d
kP
dt
d k
1
P
dt T
T
T
T
3T
t
Инерционные свойства объектов

34.

Решение этого дифференциального уравнения
kP (0) kP e t / T .
где (0) – начальное значение превышения температуры.
При (0) = 0:
kP 1 e t / T .
(t)
kP
0,95k
d
kP
dt
d k
1
P
dt T
T
T
T
3T
t
- при увеличении
температуры тела скорость
роста уменьшается, так как
все большая часть энергии
отдается в окружающую среду
Инерционные свойства объектов

35.

Решение этого дифференциального уравнения
kP (0) kP e t / T .
где (0) – начальное значение превышения температуры.
При (0) = 0:
kP 1 e t / T .
(t)
kP
0,95k
d
kP
dt
d k
1
P
dt T
T
T
T
3T
t
- при достижении = kP
температура перестает
изменяться: все поступившее
тепло уходит в окружающую
среду
Инерционные свойства объектов

36.

Уравнение теплового баланса
P d = C d +A d ,
Инерционные свойства объектов

37.

Уравнение теплового баланса
P d = C d +A d ,
d = (P/C – A/C ) d
можно представить и в виде интеграла:
t
A
1
P d
C
0 C
Инерционные свойства объектов

38.

Уравнение теплового баланса
P d = C d +A d ,
d = (P/C – A/C ) d
можно представить и в виде интеграла:
t
A
1
P d
C
0 C
Учитывая, что k = 1/A, T = C/A, получим:
t
1
k
P d
T
0 T
Инерционные свойства объектов

39.

Уравнение теплового баланса
P d = C d +A d ,
d = (P/C – A/C ) d
можно представить и в виде интеграла:
t
A
1
P d
C
0 C
Учитывая, что k = 1/A, T = C/A, получим:
t
1
k
P d
T
0 T
То же самое можно получить, интегрируя уравнение:
d k
1
P
dt T
T
Инерционные свойства объектов

40.

Модель объекта строится непосредственно по уравнению
для превышения температуры или его производной:
P
k
T
d k
1
P t
dt T
T
1
k
P d
T
1
0 T
-
p
1
T
Инерционные свойства объектов

41.

Процесс нагрева:
d /dt
P
k
T
-
1
p
1
T
Инерционные свойства объектов

42.

Таким образом, объекты с самовыравниванием
самостоятельно «организуют» баланс входных
воздействий на входе интегратора (ов) за счет
внутренних обратных связей.
В статическом режиме (когда входные воздействия и
выходные величины неизменны), связь между выходами
и входами определяют коэффициенты передачи.
В рассмотренном примере
= kP = (1/A)P
Это уравнение можно записать в виде
A = P,
Дж/( C сек) C = Дж/сек
- количество энергии, отдаваемой в окружающую среду в единицу
времени (мощность тепловых потерь) = количеству энергии,
отдаваемой телу нагревателем в единицу времени (мощности
нагревателя).
Это уравнение справедливо, если тело не накапливает тепловую
энергию и его температура не растет.
Инерционные свойства объектов

43.

Физический смысл постоянной времени
Постоянная времени – это время, в течение которого
выходная величина достигла бы установившегося
значения, если бы изменялась с постоянной начальной
скоростью.
(t)
kP
0,95k
3T
T
P
t
d /dt
k
T
1
p
В приведенном примере это означает
отсутствие теплоотдачи в
окружающую среду (обратной
связи). В этом случае уравнение
теплового баланса имело бы вид
P d = C d , откуда
d /d = P/C = (k/T)P.
Если бы нагрев происходил с такой
скоростью, установившееся
значение температуры = kP
действительно было бы достигнуто
за время T.
Инерционные свойства объектов

44.

Один и тот же объект во некоторых случаях может как
обладать самовыравниванием, так и не обладать им:
1) Расход жидкости на стоке
«диктуется» потребителем,
поэтому является
«самостоятельной величиной»
и не зависит от уровня –
объект не обладает
самовыравниванием.
Qпр
2) Жидкость выливается в
«дренаж» (под атмосферным
давлением). Расход
жидкости на стоке зависит от
уровня – объект обладает
самовыравниванием.
Qпр
Qст
h
«Потребитель»
Qст h
h
«Атмосфера»
Инерционные свойства объектов

45.

Запаздывание
Запаздывание (чистое, или транспортное запаздывание) в
строгом смысле не относится к инерционным свойствам
объекта, поскольку не связано с накоплением среды или
энергии, а представляет собой временную задержку при
передаче сигнала или среды.
Инерционные свойства объектов

46.

Запаздывание
Запаздывание может быть описано уравнением
y(t) = u(t- ),
где y(t) – выходной сигнал в момент времени t, u(t- ) – входной
сигнал в момент времени t- , - временная задержка.
В операторной форме записи:
y = u e- p,
где e- p- оператор сдвига по времени (назад) на время .
Вид данного оператора обосновывается в разделе математики
«Операционное исчисление».
y
u
e- p
Инерционные свойства объектов

47. Модели линейных непрерывных объектов и систем

Линейные
модели
Модели «вход –
состояние – выход»
d
U
Y
Модели «вход – выход»
(«черный ящик»)
U
?
Y
X
Здесь вектор U включает все входные воздействия, включая возмущения

48. Модели «вход-состояние-выход»

Уравнения состояний:
Уравнения выходов:

49. Модели «вход-состояние-выход»

Уравнения состояний:
В матричной форме:
Кратко:

50. Модели «вход-состояние-выход»

Уравнения выходов:
В матричной форме:
Кратко:

51. Модели «вход-состояние-выход»

Уравнения состояний:
можно записать в интегральном виде
что позволяет построить модель системы на интеграторах

52. Модели «вход-состояние-выход»

Пример: режекторный фильтр
В качестве переменных состояния выбираются ток через индуктивность и
напряжение на емкости (величины, которые не изменяются «скачком») .
Применяя законы Ома и Кирхгофа, получили уравнения состояний
и выхода:

53. Модели «вход-состояние-выход»

в интегральном виде
Уравнения состояний
Модель объекта:
1
С
uвх
1
RC
-
duC/dt
1
RC
1
p
uC
1
L
diL/dt
-
1
p
uвых
iL

54. Модели «вход-выход»

Эти модели связывают входы u и выходы y системы и имеют вид
дифференциальных уравнений высокого порядка:
где n – порядок модели, причем 0 ≤ m ≤ n; ai, bi – постоянные
коэффициенты (параметры модели);
В операторной форме записи
или
где

55. Модели «вход-выход»

Уравнение
можно записать в виде
где
- передаточная функция , связывающая выход y с входом u

56. Модели «вход-выход»

Последовательное соединение звеньев
ПФ системы из n последовательно соединенных звеньев равна
произведению передаточных функций всех звеньев:

57. Модели «вход-выход»

Параллельное соединение звеньев
ПФ системы из n параллельно соединенных звеньев равна сумме
передаточных функций всех звеньев:

58. Модели «вход-выход»

Соединение звеньев в виде обратной связи
ПФ участка с ООС представляет собой дробь, в числителе которой
находится ПФ прямого пути передачи сигнала, а в знаменателе –
увеличенная на единицу ПФ разомкнутой системы.

59. Модели «вход-выход»

Для описания системы с несколькими входами и выходами
используется передаточная матрица.
Передаточная матрица W(p) связывает между собой вектор входных
величин u(t) и вектор выходных величин y(t): y(t) = W(p)u(t).

60. Модели «вход-выход»

Передаточная матрица легко может быть получена по уравнениям
состояний и выхода, записанным в операторной форме
После несложных преобразований получим
где E – единичная диагональная матрица размерами n×n.
Передаточная матрица:
где + – символ присоединенной (союзной) матрицы.

61. Модели «вход-выход»

Передаточная матрица состоит из передаточных функций по всем
каналам воздействия.
Из выражения
видно, все передаточные функции будут иметь различные числители
и один и тот же знаменатель
Этот знаменатель называется характеристическим полиномом. Он
определяет важнейшие свойства системы , связанные с ее свободным
движением, которое описывается уравнением dx/dt = Ax.

62. Преобразование моделей

Уравнения в
пространстве
состояний
Передаточные
функции
однозначное преобразование: внутреннее строение
полностью определяет внешнее поведение
Уравнения в
пространстве
Уравнения в
состояний
пространстве
Уравнения в
состояний
пространстве
Уравнения в
состояний
пространстве
состояний
Передаточные
функции
неоднозначное преобразование: одно и то же внешнее
поведение может быть получено бесконечным числом
внутренних реализаций

63. Преобразование моделей

Существует множество способов представления (моделирования)
объектов заданных передаточной функцией в пространстве
состояний.
Можно построить модель, проинтегрировав дифференциальное
уравнение.
Пусть имеется уравнение
Выразим старшую производную выходной величины
После первого интегрирования получим

64. Преобразование моделей

После второго интегрирования получим
Обозначим
Тогда

65. Преобразование моделей

Из этих уравнений получим

66. Преобразование моделей

Каноническое представление системы с одним входом и одним выходом
Система с одним входом и одним выходом с передаточной функцией:
может быть описана уравнениями в пространстве состояний
матрицами вида

67. Преобразование моделей

Передаточная функция:
Модель в пространстве состояний:
,
Блок-схема:

68. Временные и частотные характеристики

Свойства элементов и систем управления определяются по их реакции
на типовые воздействия.
К таким воздействиям относятся:
ступенчатые;
импульсные;
гармонические.

69. Временные и частотные характеристики

Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие называется
переходной характеристикой h(t):
1(t)
h(t)
Demo
W(p)
Реакция системы на единичный импульс называется импульсной
переходной характеристикой (t):
(t)
(t)
W(p)
Demo
По переходным характеристикам оценивают быстродействие и
колебательность системы

70. Временные и частотные характеристики

Частотные характеристики описывают способность системы
передавать гармонический сигнал.
Эта способность отражается в изменении амплитуды и фазы
колебаний в зависимости от их частоты.
Demo
W(p)
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – зависимость
отношения амплитуды выходных колебаний к амплитуде входных
от частоты:
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) – зависимость
разности фаз выходных и входных колебаний от частоты: ( ).
Demo

71. Временные и частотные характеристики

АЧХ и ФЧХ системы часто представляют в логарифмическом виде.
Логарифмические характеристики используют логарифмическую
шкалу частот. Единицей измерения на данной шкале обычно
является декада (дек) – интервал, на концах которого значения
частоты отличаются друг от друга в 10 раз.
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ)
определяется формулой
и измеряется в децибелах.
Логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ) как
и ФЧХ измеряется в градусах или радианах.
Demo

72. Временные и частотные характеристики

АЧХ и ФЧХ системы объединяются в амплитудно-фазовую
частотную характеристику АФЧХ:
АФЧХ можно представить в виде суммы вещественной (ВЧХ) и
мнимой(МЧХ) частотных характеристик:
Demo
Выражение для АФЧХ можно
получить из передаточной
функции подстановкой p→j