Курс лекций по линейной алгебре

1. Линейная алгебра

Шакирова Джамиля
Уруспаевна

2. Список литературы

1. Тишаева, И. Р. Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебное пособие. Москва : РТУ
МИРЭА, 2022 — Часть 2 — 2022. — 124 с
2. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: учебник для вузов. - М. :
Физматлит, 2008. - 312 с.
3. Усова, Л.Б., Шакирова Д.У. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учеб.-метод. пособие.
- Оренбург : ИПК ГОУ ОГУ, Ч. 2 : 2010. - 182 с.
4. Усова, Л.Б., Шакирова Д.У. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: комплект рабочих
тетр. /Рабочая тетр. № 1. Комплексные числа. - Оренбург: ОГУ, 2011.
5. Усова, Л.Б., Шакирова Д.У. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: комплект рабочих
тетр. / Рабочая тетр. № 2. Матрицы. - Оренбург: ОГУ, 2011.
6. Усова, Л.Б., Шакирова Д.У. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: комплект рабочих
тетр. / Рабочая тетр. № 3. Определители. - Оренбург: ОГУ, 2011.
7. Усова, Л.Б., Шакирова Д.У. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: комплект рабочих
тетр. / Рабочая тетр. № 4. Обратная матрица. Ранг матрицы. Оренбург: ОГУ, 2011.
8. Усова, Л.Б., Шакирова Д.У. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: комплект рабочих
тетр. / Рабочая тетр. № 5. Системы линейных уравнений. - Оренбург: ОГУ, 2011
9. Усова, Л.Б., Шакирова Д.У. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: комплект рабочих
тетр. / Рабочая тетр. № 6. Векторная алгебра.- Оренбург: ОГУ, 2011.

3. Темы раздела линейной алгебры

Тема 1. Матрицы. Операции над матрицами. Определители, свойства
определителей, методы вычисления определителей. Обратная
матрица. Ранг матрицы.
Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Методы
решения СЛАУ. Однородные и неоднородные СЛАУ. Общее и
частное решения СЛАУ.
Тема 3. Арифметическое
n-мерное
векторное
пространство.
Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Тема 4. Прямая на плоскости. Взаимное расположение прямых на
плоскости. Прямая и плоскость в пространстве. Взаимное
расположение прямой и плоскости в пространстве.
Тема 5. Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

4. Матрицы. Операции над матрицами.

5.

6.

7.

8.

0
0
О
...
0
0
...
0
...
...
...
0
...
0
0
...
0

9.

10.

Элементарными преобразования матрицы называются :
1. Перестановка строк и столбцов.
2. Умножение некоторой строки (столбца) на число, отличное от
нуля.
3. Прибавление
ко
всем
элементам
строки
(столбца)
соответствующих
элементов
другой
строки
(столбца),
умноженных на некоторое число.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

Умножение на единичную матрицу: умножение
квадратной матрицы A любого порядка на соответствующую
единичную матрицу не изменяет исходной матрицы А:
.
AЕ ЕA А
a11 a12
, то
Если матрица А имеет вид: A
a21 a22
a11 a12 1 0 a11 1 a12 0 a11 0 a12 1 a11 a12
A E
a21 a22 0 1 a21 1 a22 0 a 21 0 a22 1 a21 a22
1 0 a11 a12 1 a11 0 a21 1 a12 0 a22 a11 a12
E A
0 1 a21 a22 0 a11 1 a21 0 a12 1 a22 a21 a22

20. Определители. Методы вычисления определителей. Свойства определителей.

21.

22. Для вычисления определителей 4-го и более высокого порядка, вводят понятия минора и алгебраического порядка

23.

24.

25. Свойства определителей

1. Величина определителя не изменится, если его строки и
столбцы поменять местами.
2. Перестановка двух строк (столбцов) определителя
равносильна умножению его на (-1).
3. Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца),
то он равен нулю.
4. Постоянный множитель какой-либо строки (столбца)
определителя можно выносить за знак определителя.
5. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю,
то определитель равен нулю.
6. Если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то
определитель равен нулю.

26.

7. Если каждый элемент n-ого столбца (n-ой строки)
определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то
определитель может быть представлен в виде суммы двух
определителей.
8. Если к элементам какой-либо строки (столбца)
определителя прибавить соответствующие элементы другой
строки (столбца) определителя, умноженные на число k, то
величина определителя не изменится.
9. Сумма произведений элементов какой-либо строки
(столбца) на алгебраические дополнения другой строки
(столбца) равна нулю.
10. Определитель треугольной матрицы равен произведению
элементов главной диагонали

27. Обратная матрица. Ранг матрицы.

28. Обратная матрица определяется по формуле:

А11
1 А12
1
А
А ...
A
1n
А21
А22
...
A2 n
... Аn1
... Аn 2
... ...
... Ann

29. Ранг матрицы. Методы вычисления ранга матрицы.

30.

31.

32.

33. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Методы решения СЛАУ

34.

35.

36. Методы решения СЛАУ

37. Матричный метод решения СЛАУ (метод обратной матрицы)

Запишем данное равенство в развернутом виде:

38.

39.

40. Решение СЛАУ методом Гаусса

41.

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении
неизвестных. Решение проходит в два этапа:
- прямой ход метода заключается в составлении расширенной
матрицы системы,
затем с помощью элементарных
преобразований расширенная матрица системы приводится к
ступенчатому (треугольному виду);
- обратный ход метода – из полученной расширенной
матрицы ступенчатого (треугольного) вида составляется
система линейных уравнений, которая решается нахождением
значений переменных, начиная с последних по номеру
уравнений.

42. Исследование системы на совместность и определенность

43.

44. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений

45.

46. Построение фундаментальной системы решений

47. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов.

48.

49.

50. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения векторов

51.

52. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения

53.

54. Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения векторов

55.

56. Элементы аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости в пространстве. Взаимное расположение плоскостей.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости в пространстве. Взаимное расположение плоскостей.

77. Прямая в пространстве. Различные виды уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве

78.

79.

80.

81.

82.

83. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве