Тема 9.7 Сечения многогранников

1. Тема 9.7 Сечения многогранников

ТЕМА 9.7 СЕЧЕНИЯ
МНОГОГРАННИКОВ

2. Содержание

СОДЕРЖАНИЕ
1. Сечения куба, призмы
2. Сечения пирамиды и усеченной пирамиды

3.

Секущая плоскость многогранника – любая плоскость, по обе
стороны от которой имеются точки данного многогранника.
Секущая плоскость пересекает грани многогранника по
отрезкам.
Сечение многогранника – многоугольник, лежащий в секущей
плоскости и ограниченный линией пересечения.

4. Определение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сечение - изображение фигуры, получающееся при
мысленном рассечении предмета одной или несколькими
плоскостями.

5. Теорема 1

ТЕОРЕМА 1
• Если две параллельные плоскости
пересечены третьей, то линии их
пересечения параллельны.
Именно поэтому секущая плоскость
пересекает плоскости параллельных
граней куба по параллельным прямым.

6. Теорема 2

ТЕОРЕМА 2
Если плоскость проходит через
данную прямую, параллельную
другой плоскости, и пересекает
эту плоскость, то линия
пересечения плоскостей
параллельна данной прямой.

7. Теорема 3

ТЕОРЕМА 3
Если прямая l параллельна какой
либо прямой m, проведённой в
плоскости α , то она параллельна и
самой плоскости α

8. Теорема 4

ТЕОРЕМА 4
Если прямая, лежащая в
плоскости сечения, не
параллельна плоскости
некоторой грани, то она
пересекается со своей
проекцией на эту грань.

9. Алгоритм построения сечения

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЯ
1. Если две точки секущей плоскости
лежат в плоскости одной грани, то
проводим через них прямую.Часть
прямой, лежащая в плоскости грани –
сторона сечения.

10.

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЯ
2. Если прямая a является общей
прямой секущей плоскости и
плоскости какой-либо грани, то
находим точки пересечения прямой a
с прямыми, содержащими ребра этой
грани. Полученные точки – новые
точки секущей плоскости, лежащие в
плоскостях граней.

11. Контроль правильности построенного сечения

КОНТРОЛЬ ПРАВИЛЬНОСТИ
ПОСТРОЕННОГО СЕЧЕНИЯ
Все вершины сечения лежат на ребрах
многогранника.
Все стороны сечения лежат в гранях
многогранника.
В каждой грани многогранника лежит не
более одной стороны сечения.

12. Постройте сечение куба, проходящее через точки M, N и P.

ПОСТРОЙТЕ СЕЧЕНИЕ КУБА,
ПРОХОДЯЩЕЕ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ M, N И P.
Пример 1

13. Ответ

ОТВЕТ
Точки M и N лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем
провести прямую.
След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, тогда соединяем M и N
сплошной линией.
Аналогично строим прямую NP.
Точки P и M лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем
провести прямую. След этой прямой — отрезок PM. Он невидимый, тогда
соединяем P и N штрихом. Треугольник MNP — искомое сечение.

14. Ответ

ОТВЕТ

15. Постройте сечение куба, проходящее через точки M, N и P.

ПОСТРОЙТЕ СЕЧЕНИЕ КУБА,
ПРОХОДЯЩЕЕ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ M, N И P.
Пример 2

16. Ответ

ОТВЕТ

17. Постройте сечение куба, проходящее через точки M, N и P.

ПОСТРОЙТЕ СЕЧЕНИЕ КУБА,
ПРОХОДЯЩЕЕ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ M, N И P.
Пример 3

18. Ответ

ОТВЕТ
Точки M и N лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую.
След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, тогда соединяем M и N сплошной линией.
Аналогично строим прямую NP.
Точки P и M не лежат в одной плоскости. Проведем прямую, параллельную NP, получим точку Q,
которая лежит в одной плоскости с точкой M, следовательно, через них можем провести прямую.
След этой прямой — отрезок QM. Он невидимый, тогда соединяем M и Q штрихом.
Аналогично получаем видимый отрезок QP.
Четырехугольник MNPQ — искомое сечение.

19. Ответ

ОТВЕТ

20. Постройте пятиугольник, являющийся сечением куба, проходящим через точки M, N, P.

ПОСТРОЙТЕ ПЯТИУГОЛЬНИК, ЯВЛЯЮЩИЙСЯ
СЕЧЕНИЕМ КУБА, ПРОХОДЯЩИМ ЧЕРЕЗ ТОЧКИ M, N,
P.
Пример 4

21. Ответ

ОТВЕТ
Точки N и P лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой
прямой — отрезок NP. Он невидимый, тогда соединяем N и P штрихом.
Точки N и M не лежат в одной плоскости. Продлим прямую AB и NP до точки их пересечения — точка E.
Соединим точку E c M, прямая пересечет грань AA1 в точке K. Получим невидимый отрезок KM.
Точки N и K лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой
прямой — отрезок NK. Он видимый, тогда соединяем N и K сплошной линией.
Проведем прямую, параллельную KN, проходящую через точку M, получим точку Q, которая лежит в
одной плоскости с точкой M и P, следовательно, через них можем провести прямую. След прямой —
отрезок QM. Он невидимый, тогда соединяем M и Q штрихом. Аналогично получаем видимый отрезок
PQ.
Пятиугольник MKNPQ — искомое сечение.

22. Ответ

ОТВЕТ

23. Построить сечение треугольной призмы, проходящее через точки К, М, Т. 

ПОСТРОИТЬ
СЕЧЕНИЕ
ТРЕУГОЛЬНОЙ
ПРИЗМЫ,
ПРОХОДЯЩЕЕ ЧЕРЕЗ
ТОЧКИ К, М, Т.
Пример 5

24. Ответ

ОТВЕТ

25. Построить сечение пирамиды через точки S, середину АВ, середину CD

ПОСТРОИТЬ
СЕЧЕНИЕ
ПИРАМИДЫ ЧЕРЕЗ
ТОЧКИ S, СЕРЕДИНУ
АВ, СЕРЕДИНУ CD
Пример 6

26. Ответ

ОТВЕТ

27. Построить сечение пирамиды через точки P, M, K

ПОСТРОИТЬ
СЕЧЕНИЕ
ПИРАМИДЫ ЧЕРЕЗ
ТОЧКИ P, M, K
Пример 7

28. Ответ

ОТВЕТ

29. Самостоятельная работа

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ
РАБОТА

30.

1. Постройте сечение куба, проходящее через точки M, N и P

31.

2. Постройте сечение куба, проходящее через точки M,
N и P.

32.

3. Постройте сечение треугольной пирамиды,
проходящее через точки M, N и P.

33.

4. Постройте сечение треугольной пирамиды,
проходящее через точки M, N и P.

34.

5. Постройте сечение треугольной пирамиды,
проходящее через точки M, N и P.