Инструкция для лаб 4

1. Решение параболического уравнения

(уравнение теплопроводности)

2. 1. Постановка задачи

• Рассмотрим однородный стержень длиной l.
Боковая
поверхность
стержня
теплоизолирована и потеря тепла через нее
равна нулю. Тепло в стержне может
распространяться только в направлении оси
стержня. Поперечные сечения стержня –
изотермические поверхности – во всех точках
данного сечения температуры а данный
момент времени одинаковы.

3.

о
x
l
• Температура в произвольной точке стержня
является функцией 2ух переменных –
координаты x и времени t : T=f( x, t).
• Пусть в начальный момент времени t=0
задано
начальное
распределение
температуры по длине стержня в виде
некоторой функции аргумента x:
T(x,0)=f (x)
Зависимость (1.1) – начальное условие.
(1.1)

4.

Пусть заданы законы изменения температуры во
времени на концах стержня при x =1 и x=l в виде
некоторых функций, но другого аргумента t:
T(0,t) = j1(t), T(l,t) = j2(t)
(1.2)
Зависимости (1.2) – краевые (граничные) условия.
Задача моделирования процесса теплопередачи в
однородном
теплоизолированном
стержне
состоит в определении температуры в любом
сечении стержня в некоторый, интересующий
момент времени t при известных начальных (1.1) и
краевых (1.2) условиях.

5. 2. Математическая модель

• Распределение температуры в однородном стержне с
теплоизолированной боковой поверхностью описывается
уравнением
2
T
2 T
a
,
2
t
x
(3)
• Где T- температура в градусах Кельвина (К);
x – координата (расстояние от левого кона стержня), м;
t – время, с;
a2 – коэффициент, характеризующий теплофизические свойства
материала – коэффициент температуропроводности=l/cr,
м2/K. Коэффициент всегда положителен.

6.

Введем новое время t a2t. Тогда (3) примет вид
T 2T
,
2
t x
(4)
Уравнение (4) – приведенное однородное уравнение
теплопроводности. Совместно с начальными (1.1)
и краевыми(1.2) условиями оно является
исходной математической
моделью для
решения
задачи
моделирования
процесса
теплопередачи
в однородном
стержне
и
теплоизолированной боковой поверхностью.

7. 3. Метод решения

Метод сеток. Рассмотрим в двумерной области
{0 x l, 0 t }пространственно-временную систему
координат (x, t) рис.2. Построим прямоугольную
сетку:
xi=i h, i = 0,1,2,….n;
tj = j k, j = 0, 1, 2, …
h = x = l/n – шаг сетки по оси x, k = t= h2 - шаг сетки по
оси t (по времени), -постоянная величина
x

8.

Ti j T xi , t j
Введем обозначения
Заменим уравнение (4) конечно-разностным уравнением
Ti j 1 Ti j Ti j1 2Ti j Ti j1
.
k
h2
j
j
j
Ti j 1 Ti j Ti 1 2Ti Ti 1
.
(5)
2
2
h
h
Решим уравн.(5) относительно температуры на j+1 – м временном слое, получим
Ti j 1 Ti j 1 1 2 Ti j Ti j 1.
(5а)
(6)
Из формулы (6) ясно, что зная значения функции T(xi, yj) в точках j –го временного слоя можно
вычислить значения функции T(xi, yj+1) в точках следующего (j+1) - го временного слоя. При
вычислении пользуются четырьмя соседними узлами – явная разностная схема (рис.3).
i-1, j
k
i, j+1
j +1– й временной слой
h
h
j – й временной слой
i, j
i+1, j
Исходя из начального временного слоя tj = 0, значения T (x, t) для которого определяются из
начального условия T xi ,0 f ( xi ) (i 0,1,2,.., n) , и используя значения функции в крайних
узлах (0, tj) и (l, tj ) (j =0, 1, 2, ..), определяемые граничными условиями T (0, t j ) j1 t j ; T (l , t j ) j 2 t j
Последовательно вычисляем значения температур в узлах сетки i = 1, 2, …, n-1.
Вычислительная схема будет устойчивой, если малые погрешности, допущенные в процессе решения
затухают или во всяком случае остаются малыми при неограниченном увеличении номера
текущего.
Условие устойчивости данной разностной схемы 0 < ½.

9. Порядок выполнения лабораторной работы

1. открыть файл teploiter.xsl
2. Войти в макрос iterach
3. Ввести: a) длину стержня L=1
б t tкон (вариант задания) taukon=
С) =sigm. Расчет для двух значений sigm=1/2,
sigm=1/6.

10.

4. В подпрограмму Tkraev ввести
начальные условия краевые условия для
своего варианта
T (0, t j ) j1 t j ; T (l , t j ) j 2 t j
5. В подпрограмму Tnach ввести
начальные условия для своего варианта
T(x,0)=f (x)

11.

6. Выполнение программы.
7. Результаты вычисления на
листе1. В 6 –й строчке время.
Каждому моменту времени значения температур в узлах
стержня (7-17).
8. Построить графики:
Распределение температуры в
стержне в нач. момент времени, при
tau=tk/2, tau=tk Сравнить
результаты при разных sigma.

12. 5. Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности

Процесс решения задачи можно ускорить, если при замене дифференциального уравнения конечноразностным использовать неявную разностную схему рис.5.1
i-1, j+1
i, j+1
Отличие от явной – для составления конечно-разностного уравнения используются три узла
сетки на j+1 – м временном слое и один узел на
j– м слое.
i+1, j+1
i, j
Рис.5.1. Неявная разностная схема
Конечно-разностное уравнение, заменяющее диф. уравнение теплопроводности в узле (xi, tj) сетки
Ti j 1 Ti j
k
Ti j 11 2Ti j 1 Ti j 11
h2
.
i 1,2,...n 1, j 0,1,2,..
(7)
В уравнение (7) значение температуры на j - м слое в I – м узле являютcя известными, а все остальные –
известными (кроме To и Tn). Положив h2=s k, из (7) получим
Ti j 11 (2 s)Ti j 1 Ti j 11 sTi j ,
i 1,2,.., n 1 (8)

13.

Из граничных условий получим
T0j 1 j1 (t j 1 ), Tnj 1 j 2 (t j 1 )
В результате получим систему n-1 линейных алгебраических уравнений, которую будем решать методом
прогонки.
Ti j 1 AiTi j 11 Bi
(9) или Ti j 11 Ai 1Ti j 1 Bi 1.
(10)
Подставим в ур.(8) выражение (10), получим
Ai 1Ti j 1 Bi 1 (2 s )Ti j 1 Ti j 11 sTi j ,
j
sT
Bi 1
1
Ti j 1
Ti j 11 i
.
2 s Ai 1
2 s Ai 1
Выражения для прогоночных коэффициентов Ai , Bi для i 2,3,...n-1
sTi j Bi 1
1
Ai
, Bi
.
2 s Ai 1
2 s Ai 1
При i=1 из (8) получим
T0j 1 (2 s)T1j 1 T2j 1 sT1j ,
T0j 1 sT1 j
1
A1
, B1
2 s
2 s

14.

Прямым ходом вычисляем прогоночные коэффициенты Ai, Bi, i=1, 2, …n-1.
Обратным ходом вычисляются значения температур на j+1 временном слое для i=n-1, n-2,
…,1 по формулам (10).
Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы в процессе вычисления не
возникло ситуаций с делением на нуль. Достаточным условием кооектности и
устойчивости пригонки:
c a b , i 1, n 1

15. Порядок вычисления уравнения теплопроводности с использованием неявной разностной схемы

•1. открыть файл progon.xsl
•2. Войти в макрос prog
•3.Проверить исходные данные: кол-во узлов n=10, taukon=
из варианта tk, длина стержня L=1.
•4.Внести изменения в подпрограмму Тnach (значения
температур в начальный момент времени) =f(x)
•5. Внести измения в подпрограмму Tkraev (граничные
условия)
T (0, t j ) j1 t j ; T (l , t j ) j 2 t j

16.

6. Получить результаты решения.
7. Сравнить решения для явной и неявной
разностных схем.
8. Выводы.