08-Интегралы, зависящие от парам-ра

1.

Математический анализ
Раздел: Определенный интеграл
Тема: Интегралы, зависящие от параметра

2. §1. Интегралы, зависящие от параметра

1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
Пусть D ℝn + 1 , D = {(x, y1, y2 , …, yn) | a x b , ci yi di },
z = f(x, y1, y2 , …, yn) – определена и непрерывна в D .
Придадим переменным y1, y2 , …, yn конкретные значения:
y1 = y10 , y2 = y20 , …, yn = yn0 (где ci yi0 di )
Рассмотрим функцию z = f(x, y10, y20 , …, yn0) = (x)
Имеем: (x) – непрерывна на [a;b] ,
(x) – интегрируема на [a;b].
Пусть a,b [a;b] . Вычислим
b
b
a
a
( x)dx f ( x, y10 , y20 , , yn0 )dx
зависит от y10 , y20 , , yn 0
функция , заданная на D1 {( y1, y2 , , yn ) | ci yi di }

3.

Определение 1. Заданная на множестве
D1 = {(y1, y2 , …, yn) | ci yi di } ℝn
функция n переменных
b
F ( y1 , y2 , , yn ) f ( x, y1 , y2 , , yn )dx
a
const
называется интегралом, зависящим от параметров.
Переменные y1, y2 , …, yn называются параметрами.
Для простоты изложения будем далее рассматривать интегралы,
зависящие от одного параметра.
Получившиеся результаты естественным образом будут
переноситься на случай интегралов от любого конечного
числа параметров.

4.

b
F ( y ) f ( x, y )dx
a
Теорема 1 (о предельном переходе по параметру под знаком
интеграла).
Пусть z = f(x,y) непрерывна в прямоугольнике
D = {(x, y) | a x b , c y d }
и a,b [a;b], y0 [c;d] .
Тогда
b
b
lim F ( y ) lim f ( x, y )dx lim f ( x, y )dx .
y y0
y y0
a
a
y y0

5.

Теорема 2 (о непрерывности интеграла, зависящего от параметра).
Пусть z = f(x,y) непрерывна в прямоугольнике
D = {(x, y) | a x b , c y d }
и a,b [a;b].
b
Тогда функция F ( y )
f ( x, y)dx непрерывна на [c;d] .
a
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

6.

Теорема 3 (о дифференцировании интеграла по параметру).
Пусть функции z = f(x,y) и f y ( x, y) непрерывны в прямоугольнике D = {(x, y) | a x b , c y d } и a,b [a;b].
b
Тогда функция F ( y ) f ( x, y )dx дифференцируема на [c;d],
причем
a
b
F ( y ) f y ( x, y )dx
a
Формула (1) называется правилом Лейбница.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
(1)

7.

Теорема 4 (о непрерывности интеграла, зависящего от
параметра в случае переменных пределов интегрирования).
Пусть z = f(x,y) непрерывна в прямоугольнике
D = {(x, y) | a x b , c y d } ,
a(y) и b(y) непрерывны на [c;d] , причем
a a(y) b , a b(y) b , y [c;d] .
b ( y)
Тогда функция F ( y )
f ( x, y)dx непрерывна на [c;d] .
a ( y)

8.

Теорема 5 (о дифференцировании интеграла по параметру в
случае переменных пределов интегрирования).
Пусть функции z = f(x,y) и f y ( x, y) непрерывны в прямоугольнике
D = {(x, y) | a x b , c y d } ,
a(y) и b(y) дифференцируемы на [c;d] , причем
a a(y) b , a b(y) b , y [c;d] .
b ( y)
Тогда функция
[c;d] , причем
b ( y)
F ( y)
F ( y)
f ( x, y)dx
дифференцируема на
a ( y)
f y ( x, y)dx f (b ( y), y) b ( y) f (a ( y), y) a ( y) .
a ( y)

9. 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Пусть z = f(x,y) непрерывна в области
D = {(x, y) | a x + , c y d }
и a [a;+ ).
Функция
F ( y) f ( x, y)dx
a
(2)
называется несобственным интегралом, зависящим от
параметра.
F(y) определена на некотором подмножестве Y [c;d],
состоящем из значений y , при которых интеграл (2) –
сходится.
D[F(y)] называют областью сходимости интеграла (2).

10.

Определение 2. Несобственный интеграл (2) называют
правильно сходящемся на множестве Y [c;d], если существует такая функция (x) , что
1) | f(x,y) | (x) , y Y , x [a;+ ) ;
2) ( x)dx
a
– сходится.
Говорят:
«интеграл
(2)
несобственным интегралом».
мажорируется
сходящимся
Теорема 6 (о непрерывности несобственного интеграла, зависящего от параметра).
Пусть z = f(x,y) непрерывна в области
D = {(x, y) | a x + , c y d }
и a [a;+ ).
Если интеграл (2) сходится правильно на множестве Y [c;d] ,
то он является на Y непрерывной функцией.

11.

Теорема 7 (о дифференцировании несобственного интеграла по
параметру).
Пусть функции z = f(x,y) и f y ( x, y) непрерывны в области
D = {(x, y) | a x + , c y d }
и a [a;+ ).
Если несобственный интеграл
f y ( x, y )dx сходится пра-
a
вильно на множестве Y [c;d] , то функция F ( y )
дифференцируема на Y и справедлива формула
d
f ( x, y )dx .
F ( y)
f
(
x
,
y
)
dx
y
dy a
a
f ( x, y)dx
a

12. 3. Эйлеровы интегралы

Эйлеровы интегралы – два интеграла зависящих от параметра,
специального вида.
1) Эйлеровым интегралом II рода ( -функцией) называется
интеграл вида
G( x) t x 1 e t dt .
0
СВОЙСТВА -функции:
а) G(x) определена при x > 0 .
б) G(x + 1) = x G(x) – формула понижения (или функциональное уравнение).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

13.

в) если 0 < x < 1 , то справедлива формула дополнения:
G( x) G(1 x)
.
sin x
1
1
Из формулы дополнения, при x , получаем: G
2
2
г) если n ℕ , то справедливы равенства:
1 (2n 1) !!
G(n) = (n – 1)! и G n
n
2
2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

14.

2) Эйлеровым интегралом I рода (b-функцией) называется
интеграл вида
1
B( x, y) t x 1 (1 t ) y 1 dt .
0
СВОЙСТВА b-функции:
а) B(x,y) определена в полуплоскости x > 0 , y > 0 .
б) B(x,y) = B(y,x) .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
в) Справедливо равенство:
x 1
z
B( x, y ) t x 1 (1 t ) y 1 dt
dz .
x y
(1 z )
0
0
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1

15.

г)
B( x , y )
x 1
B( x 1, y ) .
x y 1
д) связь b-функции и -функции:
G( x) G( y)
B( x, y)
.
G( x y)
Из этой формулы, в частности, следует, что при 0 < x < 1
B( x,1 x)
.
sin x