9-Уравнение сферы плоскости прямой

1. Раздел - 6 Координаты и векторы (20 часов)

1. Прямоугольная декартова система координат в
пространстве.
2. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов.
3. Сложение векторов.
4. Умножение вектора на число.
5. Разложение вектора по направлениям.
6. Проекция вектора на ось. Координаты вектора.
7. Угол между двумя векторами.
8. Скалярное произведение векторов.
9. Уравнения сферы, плоскости и прямой.
10. Использование координат и векторов при
решении математических и прикладных задач.

2. Тема №9 Уравнения сферы, плоскости и прямой.

3. Повторение Записать формулу скалярного произведения векторов на плоскости

а
b
a b a b cos

4. Повторение Формула скалярного произведения векторов в пространстве

а x1; y1; z1
b x2 ; y2 ; z2
a b x1 x2 y1 y2 z1 z2

5.

Записать следствия из формулы
a b a b cos
Если a b , то
cos 90 0
0
a b 0
0
a
b
Если
, то cos 180 1 a b a b
Если а b , то
cos 0 1 a b a b
0
2
Если a b , то a b a a a a a a
Скалярное произведение a a называется
скалярным квадратом вектора
2

6. Проверочная работа

• Назовите координаты вектора с в пространстве
с 3i j
(3;-1; 0)
• Найдите координаты суммы векторов
с( 1;2;0)
m( 2;1;1)
• Найдите координаты вектора
a( 3;0;0)
(1;3; 1)
3a
(9;0;0)

7. Каждой точке А пространства можно сопоставить направленный отрезок ОА, который называется радиус вектором точки А.

• Направляющий вектор прямой – это ненулевой вектор,
который можно изобразить направленным отрезком с
концами на этой прямой.
• Любые два направленных вектора прямой коллинеарны.
• Прямая задаётся одной своей точкой и направляющим
вектором.
Пусть на прямой l взяты две точки А и В.
Вектор v=АВ – направляющий вектор
прямой l.
Вектор А0М коллинеарен направляющему
вектору, т.е. А0М = tv.

8. Зафиксируем начальную точку О и зададим радиус вектора: r0=АА0 и r=ОМ. Вектор А0М = r - r0 = tv – получили векторное уравнение

прямой.
Уравнение прямой в координатах
Пусть А(х0; у0; z0), переменная точка М(х; у; z),
направляющий вектор v (a;b;c),
Векторное равенство r - r0 = tv запишем в координатах:
х - х0 = tа
у - у0 = tb
z - z0 = tc

9.

• Если прямые l1 и l2 имеют направляющие
вектора v1 и v2, то
l1 // l2 v1 kv2 - коллинеарность направляющих
векторов
l1 l2 v1 v2 0 - ортогональность направляющих
векторов

10. Уравнение плоскости

Пусть α – некоторая плоскость;
n - нормаль к плоскости;
r0 – радиус – вектор произвольной точки М плоскости α.
Т.к. вектор А0М лежит в плоскости α ,
то он ортогонален нормали n,
т. е. А0М ·n =0 →
если

11.

12. Уравнение сферы

13.

Уравнение сферы:

14. Решение задач

15. Домашнее задание

Записать в справочник основные формулы темы № 9
r - r0 = tv
Векторное уравнение прямой
Векторное уравнение плоскости
Уравнение сферы

16. Домашнее задание

Дан квадрат и ромб со стороной а=2.
Найти скалярное произведение выделенных
векторов.
В
В
С
O
А
А
С
O
D
OAOB
900
AOOB
900
D
OС OD 900