НИС Курильский Петр

1. Использование нейронных сетей для определения свойств упругой полосы

Выполнил: Курильский П.А.
Научный руководитель: А.А.Бобылев

2. Прямая задача

1)Жесткий штамп вдавливается в упругую полосу:
Ω = { x = (x1,x2) ∈ R2 | 0 ≤ x2 ≤ h }
Полоса находится в условиях плоской деформации, деформации
малы, а массовые силы и напряжения в недеформированном
состояние отсутствуют.
2)Форма штампа описывается функцией
Φ(x1) = Ф1(x1) + Ф2(ξ1)/K,
где Ф1(x1) – выпуклая функция, характеризующая макроформу
штампа; Ф2(ξ1) – выпуклая функция, определяющая форму
микровыступа; ξ1 = {Kx1/a} – «быстрая» координата;
а – размер Гр.
Положение штампа определяется вектором перемещения
δ = (δx, δy) и углом поворота φ3 как жесткого целого.
δx = 0; Fx = 0; -∞ < Fy<0; |M|< ∞.
Распределение параметров Ламе по слоям
полосы задается кусочно-постоянной функцией.
3) Контактное взаимодействие описывается следующими условиями:
u2 ≤ Ф + δy + φ3(x1 – x1с ); σ22 ≤ 0; σ21 = 0;
σ22 [u2 - Ф - δy - φ3(x1 – x1с )] = 0 на Гр
Остальная часть границы свободна от внешних нагрузок.

3.

Напряженно-деформированное состояние слоя Ωn, описывается системой уравнений:
Вдоль границы Г0 полоса соединена с недеформируемым основанием. В случае полного сцепления
граничные условия имеют вид
u1 = u2 = 0 на Г0
На границах раздела слоев также задаются условия полного сцепления.
Уравнения равновесия жесткого штампа:
,
где x1c - координата x1 точки центра приведения сил.

4.

Контактные усилия на микровыступах считаются по формуле
где i = 1,...,K, Γi — часть Γp, соответствующая микровыступу с номером i.
Нормальная компонента главного вектора силы и главный момент внешних сил, приложенных к штампу,
задаются в виде:
F2 = - faE* , M3 = eF2a .
Где f >0 – безразмерный параметр внешней нагрузки; e – безразмерный параметр, характеризующий
эксцентриситет равнодействующей внешней нагрузки относительно центра приведения xc = (0,5a,h).
В поставленной задаче необходимо найти контактные усилия на микровыступах ri.
Решение происходит при помощи FORTRAN-программы разработанной Бобылевым А.А.

5. Обратная задача

Обратная задача заключается в нахождение упругих свойств полосы. Параметры Ламе изменяются как
кусочно-постоянная функция.
Для нахождения, нам необходимо построить нейронную сеть, предсказывающую пять пар параметров (λi,μi)
, где i = 1,…,5, на основе контактных усилий.
r1
r2
r3
.
None
.
.
r14
r15
r16
ELU
64
128
Tanh
ELU
256
128
Tanh
ELU
64
λ1
μ1
.
.
.
λ5
μ5

6.

Для решения обратной задачи необходимо составить базу данных, при помощи метода Латинского
гиперкуба. Далее на полученной базе данных будет происходить обучение нейронной сети.
Пример для двумерного случая и получения 5 пар значений.
Разделяем оси на n отрезков равной длины,
в каждом подотрезке выбираем случайную точку, получаем 2 массива.
(x11,x12,x13,x14,x15)
(x21,x22,x23,x24,x25)
Перемешиваем массивы полученных точек
(x14,x13,x11,x15,x12)
(x25,x21,x24,x23,x22)
Объединяем наши массивы в один массив взяв элементы по столбцам
(x14,x25),(x13,x21),(x11,x24),(x15,x23),(x12,x22)
Используем для равномерного распределения данных.
Приведенный модуль Юнга и коэффициент Пуассона будем генерировать с условием ограничений:
1<E*<5 ; 0,1<ν<0,4

7.

• Используя приведенный модуль Юнга и коэффициент Пуассона, преобразуем их в параметры Ламе.
Используем Приведенный модуль Юнга и коэффициент Пуассона, потому что зависимость
параметров нелинейна и при генерации будет нарушаться диапазон.

8. Данные

• Для работы необходимо сгенерировать три набора данных (16640 образцов):
• 1)Тренировочный(11648 образцов – 70%)
• 2)Проверочный(2496 образцов – 15%)
• 3)Тестовый(2496 образцов – 15%)
• Данные генерируются при помощи вызова Латинского гиперкуба.

9. Параметры системы

• Где K – число микровыступов на штампе,
• h/a – относительная толщина полосы,
• α1, α2 - отношение ампилтуд основы штампа и микровыступа к их длине,
• m1 m2 – показатели степени формы штампа,
• e – эксцентриситет нагрузки,
• f – безразмерный параметр нагрузки.

10. Нормализация входных данных

• Для ускорения и стабилизации обучения нормализуем входные данные при помощи метода
RobustScaler.
Xnorm – значение после нормализации, Xi – исходное значение, X(median) – медиана.
n – номер перцентиля, k = [(N-1)* (n/100)], α = (N-1)*(n/100) – k, N – количество элементов в
выборке, x(k) – k-ый элемент выборки.

11. Нормализация выходных данных

• Выходные данные нормализуются при помощи логарифма и StandartScaler:
Xnorm – значение после нормализации, Xlog – значение после логарифмирования,
Xi – исходное значение, μ – среднее значение, σ – стандартное отклонение.

12. Архитектура сети

• В работе используется полносвязная сеть. На входе получает 16 контактных усилий, на выходе 5 пар
параметров Ламе.
• В сети используется 5 слоев с 64, 128, 256, 128, 64 нейронами на каждом слое соответственно.
• На слоях используются следующие функции активации: ELU(ExponentialLinearUnit) на четных слоях и
гиперболический тангенс на нечетных слоях.

13. Ошибка

• В качестве функции потерь была выбрана MSE(MeanSquaredError):
yi – истинное значение, yi(с крышечкой) – предсказанное значение, n – количество образцов.

14. Оптимизатор

В качестве оптимизатора выбран AdamW, основное правило обновления параметров:
Θt –параметры модели на шаге t, Θt-1 – соответственно на предыдущем шаге, η – скорость обучения,
λ – коэффициент весового затухания.

15. Моменты первого и второго порядка

Моменты первого и второго порядка после смещения вычисляются по формулам:
Моменты первого и второго порядка в формулах выше высчитываются по следующим
формулам:

16. Оценка качества

• Для оценки качества используем MAPE(Mean Absolute Percentage Error):
yi – истинное значение, yi(с крышечкой) – предсказанное значение, n – количество образцов.

17. Результаты

18.

Средняя ошибка λ = 34.91%
Средняя ошибка μ = 25.87%
MAPE = 30.39%