ИССЛЕДОВАНИЕ функции

1.

2. Направление выпуклости графика функции.

Пусть функция f(x) дифференцируема в любой точке интервала (а,b).
Тогда существует касательная к графику функции, проходящая через
любую точку М(x,f(x)) этого графика, причем эта касательная не
параллельна оси Оу.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
График функции f(x) имеет на интервале (а,b) выпуклость,
направленную вверх (вниз), если в пределах этого интервала он
расположен не выше (не ниже) любой своей касательной.
y
y
y = f(x)
0
a
b
y = f(x)
x
0
a
b x

3.

ТЕОРЕМА.
Если функции f(x) имеет на интервале (а, b) вторую производную и
f ´´(x) 0 ( f ´´(x) 0)
во всех точках интервала, то график функции имеет на (а, b) выпуклость,
направленную вверх (вниз).
f ´´(x) < 0
y
y
f ´´(x) > 0
a
b
x
a
b
x

4. Точки перегиба графика функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка М( х0, f(х0 )) называется точкой перегиба графика функции
у = f(x), если в этой точке график имеет касательную и существует
окрестность точки х0 оси ОХ, в пределах которой слева и справа от х0
график функции имеет разные направления выпуклости.
y = f(x)
y
М(хо, f(xo))
y0
0
x0
x

5.

ТЕОРЕМА (необходимое условие перегиба графика функции,
имеющей непрерывную вторую производную).
Если М(x0, f(x0)) точка перегиба графика функции у = f(x) и функция
имеет в этой точке непрерывную вторую производную, то
f ´´(x0) = 0.
Доказательство.
Предположим, что f ´´(x0) 0.
Так как, по условию теоремы, f ´´(x) непрерывна в точке x0, то
найдется такая окрестность этой точки, в которой f ´´(x) сохраняет знак
числа f ´´(x0). Следовательно, функция сохраняет направление выпуклости
в этой окрестности, что противоречит определению точки перегиба.

6.

Достаточное условие перегиба
ТЕОРЕМА.
Пусть у = f(x) непрерывна в точке x0, дважды дифференцируема в окрестности
этой точки и график функции имеет касательную в точке М(x0, f(x0)). Если в
пределах этой окрестности f ´´(x) имеет разные знаки слева и справа от x0, то
М(x0, f(x0)) – точка перегиба графика функции.
Доказательство.
Так как f ´´(x) имеет разные знаки слева и справа от x0, то направление
выпуклости слева и справа от точки различно, то есть М(x0, f(x0)) – точка
перегиба графика функции.
y
f ''(x) < 0
M2
f ''(x) < 0
M1
x1
x2
x

7.

ПРИМЕР.
Найдем направления выпуклости и точки перегиба графика функции
y 3 х.
Вычислим производные первого и второго порядка:
1 2
y x 3 ,
3
2 5
y x 3 .
9
Здесь y (x) при х 0 и график функции в точке х = 0 имеет
вертикальную касательную. Вторая производная в точке х = 0 не
определена, а при переходе через эту точку меняет знак с плюса на
минус. Итак, точка х = 0 – точка перегиба.
y
y <0
y >0
0
x

8. Общая схема построения графика функции.

Изучение заданной функции f(x) и построение ее
графика целесообразно проводить в следующем порядке:
Найти область определения функции. Выяснить, является
ли функция четной, нечетной, периодической.
Найти точки пересечения графика с осями координат и
промежутки, на которых f(x) > 0 и f(x) < 0.
Найти асимптоты графика.
Сделать приблизительный эскиз графика.
Вычислить первую производную, найти точки экстремума
и промежутки возрастания (убывания) функции.
Вычислить вторую производную, найти точки перегиба и
промежутки выпуклости вверх или вниз функции.
Окончательно вычертить график.

9.

ПРИМЕР.
Провести полное исследование функции
и построить ее график.
x3
f ( x)
(1 x) 2
1.
Область определения функции D(f) = (– , –1) (– 1, + ).
Функция общего вида.
2.
Найдем нули функции, решив уравнение
f(x) = 0 x = 0.
Отметим на числовой прямой промежутки знакопостоянства
функции:
Знаки f(x)
-
-1
+
0
x

10.

3.
4.
Найдем асимптоты графика функции, вычислив необходимые
пределы. В результате получим:
х = – 1 – вертикальная асимптота;
у = х – 2 – наклонная асимптота графика функции как
при х - , так и при х + .
На основе полученной информации построим приблизительный
эскиз графика:
y
-1
0
-2
2
x

11.

5.
Вычислим первую производную функции
x 2 ( x 3)
f ( x)
.
3
(1 x)
Найдем критические точки производной и отметим их на
числовой прямой. Расставим знаки производной в полученных
интервалах и укажем направления возрастания-убывания функции.
Знаки f '(x)
max
-
+
-3
+
-1
+
0
x
Вычислим значение функции в обнаруженной точке максимума:
f(-3) = – 6.75

12.

6.
Найдем вторую производную функции
6x
f ' ' ( x)
.
4
(1 x )
Отметим на числовой прямой критические точки второй
производной. Расставим знаки второй производной в полученных
интервалах и укажем направления выпуклости функции.
Знаки f ''(x)
Точка
перегиба
-
-1
7.
Окончательно построим график:
+
0
x

13.

y
x
y
3
(1 x) 2
–3
y=x–2
–1
0
– 6.75
x

14. Проектная деятельность

4
2
f(x) = x - 4х

15. Проектная деятельность

3
2
f(x) = -x - 3х +3

16. Проектная деятельность

4
3
f(x) = х - 3х +4

17. Проектная деятельность

5
3
f(x) = x - 4х